代数系入門 (松坂和夫) 第1章 §8 問題8 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第1章 §8 問題8 の解答です。 (メモレベルです、いつかまとめます。)

\( M_1 , … , M_k \) は互いに素ですから、 \( M_1 y_1 + \cdots + M_k y_k \equiv 1 \) なる \( y_1, \cdots , y_k \) が存在するので (関連: 代数系入門(松坂和夫) §5 問題11)、 その両辺に \( 2, \cdots , m \) を掛けると \( m \) の完全剰余系ができます。

またそのとき、 \( y_i \) と \( m_i \) は互いに素で、 \( y_i, 2y_i, … my_i \) は重複を含めて \( m_i \) の完全剰余系を動きます。 \( (y_i, m_i ) = d \) なる \( d \) があれば左辺の全ての項は \( d \) で割り切れるため、 右辺の 1 も \( d \) で割り切れることになりますが、 そのような \( d \) は 1 しかないので \( y_i, m_i \) が互いに素であることがわかります。 また、 \( r \lt m_i \) として \( py_i = qm_i + ry_i \) と書けるときは、 \( M_i p y_i = M_i q m_i + M_i r y_i = m q + r y_i \equiv M_i r y_i \; \pmod{m} \) より \( m_i \) を法として合同なものは置き換えて良いことになりますから、 \( M_i \) に掛ける数は 完全剰余系のに含まれる全ての剰余類の代表元 \( m_i \) 個のみを考えればよいことがわかります。

すると各 \( x_i \) は \( m_i \) 個の値をとりうることになり、 全部で \( m \) 個 の組み合わせがあります。 右辺の値も \( m \) 通りありますから、 \( x_i \) が \( m_i \) を法として異なる値ならば \( \sum M_i x_i \) も \( m \) を法として異なる値となることがわかります。

もし 式の値が \( m \) と公約数 \( d \) を持つ場合は、 \( m = \Pi m_i \) から \( \exists i, (d, m_i) > 1 \) です。 この \( i \) をひとつ固定して \( (d, m_i) = d_0 \) とします。 すると \( \forall j, j \neq i \Rightarrow d_0 | M_j \) 。 これより、 \( d_0 \) を法として

\begin{eqnarray*}
0 & \equiv & \sum M_i x_i \\
& \equiv & M_i x_i .
\end{eqnarray*}

\( (m_j, m_i) = 1 \; (i \neq j) \) より \( ( M_i, d_0 ) = 1 \) 。 これより \( x_i \equiv 0 \; \pmod{d_0} \) で \( (x_i, m_i) \geq d_0 \) 。 以上より、 \( (z, m) \gt 1 \Rightarrow \exists i, (x_i, m_i) \gt 1 \) 。 この待遇を考えて、\( \forall i, (x_i, m_i) = 1 \Rightarrow (z, m) \gt 1 \)。

この逆は、 \( (x_j, m_j) \gt 1 \) なる \( j \) が存在するとき、 \( d = (x_j, m_j) \) とすると \( \forall i, (M_i x_i, d) \geq d \) 。 よって 式の値 \( z \) についても \( (z, d) \geq d \) すなわち \( (z, m) \geq d \) 。 この待遇を考えて \( (z, m) = 1 \Rightarrow \forall i, (x_i, m_i) = 1 \) 。

以上より \( (z, m) = 1 \Leftrightarrow \forall i, (x_i, m_i) = 1 \)

\( (a, b) = 1 \) なる \( a, b \) について、 \( ab \) の剰余類として \( 0 \leq ax + by \lt ab \) を考えます。 このとき、 前述の性質 \( (z, m) = 1 \Leftrightarrow \forall i, (x_i, m_i) = 1 \) により、 \( (ax + by , ab) = 1 \Leftrightarrow (x, a) = 1 \wedge (y, b) = 1 \) です。 これより

\begin{eqnarray*}
& & \varphi(ab) \\
& = & | \left\{ax + by | (ax + by, ab) = 1, 0 \leq ax + by \lt ab \right\} | \\
& = & | \left\{ (a, b) | (a, x) = 1, (b, y) = 1, 0 \leq x \lt a, 0 \leq y \lt b \right\} | \\
& = & | \left\{ a | (a, x) = 1, 0 \leq x \lt a \right\} | | \left\{ b | (b, y) = 1, 0 \leq y \lt b \right\} |\\
& = & \varphi(a) \varphi(b) .
\end{eqnarray*}

よって \( \varphi \) は乗法的である。