代数系入門 (松坂和夫) 第2章 §5 問題11 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §5 問題11 の解答です。

命題

\( H \) を \( G \) の部分群とし、 \( H \) を法とする任意の2つの左剰余類の積は \( H \) を法とする1つの左剰余類になる。 このとき、 \( H \) は \( G \) の正規部分群となる。

証明

任意の \( G \) の元 \( a \) について、 ある \( G \) の元 \( b \) が存在して \( aHa^{-1}H = bH \) です。 このとき、 任意の \( H \) の元 \( h \) について \( aha^{-1}h \in bH \) 。 よって、 \( aha^{-1} \in bH \) 。 この左辺は部分群だから、 右辺 \( bH \) も部分群です。 よって、 \( e \in bH \) すなわち、 \( e = bh \) となるような \( h \in H \) が存在します。 このとき \( b = h^{-1} \in H \) となるので、 \( aHa^{-1} \in bH = H \) です。 よって \( H \) は 正規部分群です。