代数系入門 (松坂和夫) 第2章 §5 問題2 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §5 問題2 の解答です。

命題

\( H \) , \( K \) を \( G \) の部分群とするとき、 \( HK \) が \( G \) の部分群となる必要十分条件は \( HK=KH \) 。

証明

\( e \in H \) , \( e \in K \) より \( e = ee \in HK \) で、 単位元 \( e \) は \( HK \) に含まれます。

必要性の証明

\( HK \) が部分群だと仮定します。

\( HK \) の任意の元 \( hk \, ( h \in H, \, k \in K ) \) を考えます。 \( hk \) の逆元を \( h’k’ \in HK \, ( h’\in H, k’ \in K ) \) とすると、 \( h’k’ \) の逆元 \( hk \) は \( HK \) の元であり、 \( (h’k’)^{-1} = k’^{-1} h^{-1} \in KH \) より \( HK \) の元でもあります。 これより \( HK \subset KH \) です。

また逆に \( KH \) の任意の元 \( kh \, ( h \in H, \, k \in K ) \) を考えた時、 その元の \( G \) での逆元 \( h^{-1} k^{-1} \) は \( HK \) の元で、 \( HK \) は群ですから さらにその逆元 \( (h^{-1} k^{-1})^{-1} = kh \) も \( HK \) の元とまります。 これより \( KH \subset HK \) です。

以上より \( HK = KH \) です。

十分性の証明

\( HK = KH \) と仮定します。

\( HK \) の任意の元 \( hk \, ( h \in H, \, k \in K ) \) について、 \( h^{-1} h k k ^{-1} = e \in HK \) 。 これより \( hk \in h HK k = HK \) で、 \( HK \) は乗法について閉じていることがわかります。

また \( HK \) の任意の元 \( hk \, ( h \in H, \, k \in K ) \) を考えます。 この \( G \) での逆元 \( (hk)^{-1} = k^{-1} h^{-1} \) は \( KH \) すなわち \( HK \) の元となり、 逆元が存在することもわかります。

以上より \( HK \) は部分群となります。