代数系入門 (松坂和夫) 第2章 §7 問題1, 2 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §7 問題1, 2 の解答です。


問題1

命題

群 \( G \) の写像 \( f : x \mapsto x^{-1} \) が自己同型ならば \( G \) は可換群。

証明

\( G \) の任意の元 \( a, b \) を考えます。 \( f \) は自己同型なので、\begin{eqnarray*}
& & f\left( (ab)(ba)^{-1} \right) \\
& = & f(ab) f(a^{-1} b^{-1}) \\
& = & (ab)^{-1} ab \\
& = & b^{-1} a^{-1} ab \\
& = & e . \end{eqnarray*}

\( f \) は自己同型なので、 \( (ab) (ba) ^ {-1} = e \) すなわち \( ab = ba \) 。

よって、 \( G \) は可換群です。

問題2

命題

群 \( G \) の内部自己同型の全体は \( \rm{Aut}(G) \) の正規部分群をなす。

証明

群 \( G \) の内部自己同型全体を \( I \) とします。

\[ I = \left\{ \sigma _a | a \in G , \sigma (x) := axa^{-1} \right\} \]

群であることの証明

\( I \) は写像の合成について閉じています。 任意の \( \sigma_a, \sigma_b \in I \) について \begin{eqnarray*}
& & (\sigma _a \circ \sigma _b) (x) \\
& = & \sigma _a ( bxb^{-1} ) \\
& = & abxb^{-1} a^{-1} \\
& = & (ab) x (ab)^{-1} \\
& = & \sigma _{ab} (x) . \end{eqnarray*}

\( \sigma _e \) は単位元となります。 任意の内部自己同型写像 \( \sigma _a \) に対して \begin{eqnarray*}
& & ( \sigma _a \circ \sigma _e ) (x) \\
& = & \sigma _a ( \sigma _e (x) ) \\
& = & \sigma _a ( e x e ^ {-1} ) \\
& = & \sigma _a ( x ) \\
& = & e (\sigma _a ( x )) e^{-1} \\
& = & \sigma _e ( \sigma _a ( x ) ) \\
& = & ( \sigma _e \circ \sigma _a )(x) . \end{eqnarray*}

\( \sigma _a \) に対して \( \sigma _{a^{-1}} \) は逆元です。 \begin{eqnarray*}
& & (\sigma _a \circ \sigma _{a^{-1}} ) (x) \\
& = & \sigma _a ( \sigma _{a^{-1}} (x) ) \\
& = & a ( a^{-1} x a ) a ^ {-1} \\
& = & x \, (\sigma _e (x)) \\
& = & a^{-1} ( a x a^{-1} ) a \\
& = & \sigma _{a^{-1}} ( \sigma _a (x) ) \\
& = & ( \sigma _{a^{-1}} \circ \sigma _a ) (x) .\end{eqnarray*}

\( \sigma _a, \sigma _b, \sigma _c \) について \begin{eqnarray*}
& & ( \sigma _a \circ \sigma_b ) \circ \sigma _c \\
& = & \sigma _{ab} \circ \sigma _c \\
& = & \sigma _{(ab)c} \\
& = & \sigma _{a(bc)} \\
& = & \sigma _a \circ ( \sigma _{bc} ) \\
& = & \sigma _a \circ ( \sigma _b \circ \sigma _c ) . \end{eqnarray*}

正規部分群であることの証明

任意の元 \( \sigma _a \in I, f \in \rm{Aut}(G) \) について \( \sigma _a \circ f \circ \sigma _{a^{-1}} \in I \) がわかれば十分です。

\begin{eqnarray*}
& & ( \sigma _a \circ f \circ \sigma _{a^{-1}} ) (x) \\
& = & (\sigma _a \circ f) (a x a ^{-1}) \\
& = & \sigma _a ( f (a x a^{-1})) \\
& = & \sigma _a ( f (a) f(x) f (a^{-1}) ) \\
& = & a f(a) f(x) f(a^{-1}) a^-1 \\
& = & a f(a) f(x) f(a)^{-1} a^{-1} \\
& = & ( a f(a) ) f(x) (a f(a)) ^{-1} \\
& = & \sigma _{af(a)} (x) \end{eqnarray*}

\( af(a) \in G \) なので \( \sigma _a \circ f \circ \sigma _{a^{-1}} \in I \) となり \( I \) が正規部分群であることがわかります。