オイラーの多面体定理を考えてみましょう。 (もともとはグラフ理論での定理なのですが。)
オイラーの多面体定理
多面体では次の等式が成り立つ。
頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2
平面上の図形においてもこの式は成り立つ。
今回はこの式が本当に正しいのか検証してみようという趣旨です。 オイラーの式は平面上で成り立つ式なので、平面上で考えます。 多面体は平面図形に置き換えられるので、 平面図形でオイラーの式が成り立てば 多面体でも成り立つことになります。
多面体を平面に投影する
多面体は平面図形に投影することができます。
左の4面体は右のように平面に投影できます。 4面体の面は4角形になったのが3つ、残る面はまわりのエリアです。 点と線で 4つの区域に分けられていますね。
証明
平面上に描かれた点と線を考えます。 線の両端が点だと考えてください。 全ての線は点を介してつながっているものとし、点以外では線がつながらないものとします。 線は曲線も含みます。
数学的帰納法で考えます。 点の数を \( V \) 、 線の数を \( E \) 、 面の数を \( F \) とします。 \( V – E + F = 2 \) を証明すればOKです。
\( E = 1 \) のとき
辺 \( E \) は 1, 面 \( F \) は 1, 点 \( V \) は 2 です。
\[ V – E + F = 2 – 1 + 1 = 2 \]
オイラーの式は成立しています。
\( E = k \in \mathbb{N} \) でオイラーの式が成り立つとき
\( E = k \) でオイラーの式が成立するときの \( E \) 、 \( V \) 、 \( F \) の値をそれぞれ \( E_k \) 、 \( V_k \) 、 \( F_k \) とすると、次の式が成り立ちます。
\[ V_k – E_k + F_k = 2 \]
ここで \( V_k \) 、 \( F_k \) の値は \( k \) によって一意に定まるものではなく、 あくまで前提とした条件での値です。
図形に線を足す場合を考えます。 線は点を介してつながっているので、新しく引く線は両端または一方の端が既存の線とつながります。
線の一方のみが既存の点に接続する場合
点が新たに1つ増えるので \( V = V_k + 1 \) 、 線が新たに1つ増えるので \( E = E_k + 1 \) 、 面の数は変わらないので \( F = F_k \) 。
\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & ( V_k + 1 ) – ( E_k + 1 ) + F_k \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}
線の両端が既存の点に接続する場合
新しく線を引く前の状態で、 既存の線は繋がっているため 新しく引く線の片側または両側は線が閉じていることになる。 すなわち線を新しく引くと、 面の数が1増える。
これより 点の数は増えず \( V = V_k \) 、 線の数は1増えて \( E = E_k + 1 \) 、 面の数も1増えて \( F = F_k + 1 \) 。 これは 線の始点と終点が同じ場合も含みます。
\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & V_k – ( E_k + 1 ) + ( F_k + 1 ) \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}
以上より、 \( E = k \in \mathbb{N}\) で オイラーの式が成立していれば \( E = k + 1 \) でも成立することが分かる。
よって すべての場合で オイラーの式は成立する。
証明にしてはちょっとゆるい感じがしますが、 式が成り立つことを理解していただけるとうれしいです。
このオイラーの定理を使うと、デカルトの定理も証明できます。 詳細は デカルトの定理を証明する をご覧ください。
百味ビーンズ
ハリー・ポッターに登場する百味ビーンズ (Bertie Bott’s Every Flavour Beans)、 USJで売られています。 その危ない百味ビーンズの味を一覧にしました。
百味ビーンズ味一覧
| 色・特徴 |
味 |
| 黄色にところどころ茶色の斑点 |
バナナ味。 普通のキャンディー。 |
| 濃紺 |
ブルーベリー味。 普通のキャンディー。 |
| 明るいオレンジがかった赤 |
チェリー味。 普通のキャンディー。 |
| 緑 |
青林檎味。 普通のキャンディー。 |
| 深緑 |
西瓜味。 普通のキャンディー。 |
| レモンイエロー |
レモン味。 普通のキャンディー。 |
| ピンク |
綿菓子味。 甘くてお菓子らしい味。 |
| うすいベージュに茶色の点々 |
マシュマロ味。 甘い味。 マシュマロかと言われると賛否両論出る。 |
| ピンクに青・緑・赤・黄色などの模様がまじっている |
砂糖漬け果物味。 駄菓子みたいな味。 |
| 赤茶 |
シナモン味。 ニッキみたいな味でピリピリする。 |
| 黄緑 |
草味。 ほうれんそうなどとは違った、雑草のような味。 |
| 白と黒のまだら |
黒胡椒味。 こしょうを大量に舐めると考えれば、つらさが理解できるだろう。 |
| 茶色で粗びきっぽい |
ソーセージ味。 焼いたおいしいソーセージではなく、生々しいソーセージの味。 |
| 白よりのうすーい水色 |
石鹸味。 誰もが石鹸だと頷ける味。 |
| まずそうな黄緑に緑の斑点 |
鼻糞味。 粘り気まで再現されており、衝撃が大きい。 |
| ベージュっぽい色 |
耳垢味。 においまで再現されており、衝撃が大きい。 |
| いやーな感じの赤茶 |
ミミズ味。 ミミズが土を食べているだけあって、土っぽい味。 |
| 茶色っぽい |
土味。 飲み込むのも難しい。 |
| 黄色と白のまだら |
腐った卵味。 |
| オレンジに赤の斑点 |
ゲロ味。 吐いた人も結構いるらしい。 |
草以下はやめたほうがいいです。 私の勤務先でも、USJに行った人がお土産として配っていましたが、ダメージ受けていた人が数多くいました。 一度にすべてを食べた人は、「口の中がケミストリー」と言っていました。
食べ物で遊ぶのはよくないと思うのですが。 人気商品だそうです。
ユニバーサル・スタジオ・ジャパンTM
父の日、あなたはなにを贈りましたか？
贈り物に困っていますか？
私の父はフルーツが好きなので、今年もフルーツにしました。 でも、普通のものでは面白くない。 受け取っても、「まぁ、そうなるよね」で終わってしまう。 だからこそここはイイものを選ぼうと思いました。
新宿高野や千疋屋もいいけど、単にお金をかけていいものを選んだのでは味がない。 品質は高いですが、「お金かけすぎじゃないか」って心配させることになるかもしれない。
新宿高野
千疋屋総本店
そこで選んだのは、富良野グルメ工房【とみたメロン】の富良野メロン特大XLサイズです。 メロンはこれまで数多く食べたでしょうが、特大メロンとなるとわけがちがいます。 北海道富良野の豊かな大地で育った特大メロンの贈り物です。
富良野メロン特大XLサイズ
父も大喜びで企画は大成功でした。
とみたメロンハウス
「やりがいのある仕事」という幻想を読みました。仕事に悩んだときにおすすめの本です。
あたりまえのことを 極限まで客観視して書かれた本です。
今の仕事は天職か？
楽しいことを仕事にしたり、仕事をがんばることに意味を見出したり、そういうやり方もあります。 しかし著者はもっと広く考えていました。
仕事が楽しくなければ一体なにが楽しいのか？
ひとつ本書の記述を紹介します。 もっと楽しいことを探してそれを「やる」時間を持つ
、 それもひとつのやり方だと書かれています。
これを読んだからといって、明日から大きく考え方が変わるということもないし、どの職業がいいといったことも書かれていない。 だけれども、 転職したい、 仕事やりたくない、 やりがいのある仕事につきたい、 と思い悩んでいる人には 別の考え方で自分を見直す機会を作るという意味で、 とてもいい本だと思う。
過去にアリさんマークの引越社とサカイ引越センターを使ったことがあるのでその時の比較を書いておきます。
使ったのは次の区間です。 私がすべて立ち会いました。
- アリさんマークの引越社 (引越社関西)
- 2008年 京都府京都市から兵庫県宝塚市、 2013年 大阪府大阪市阿倍野区から東京都足立区 (14万円)
- 2010年 サカイ引越センター
- 兵庫県宝塚市から大阪府大阪市阿倍野区
総評
アリさんマークの引越社がおすすめです。 エリアによるとは思いますが、 私はもうサカイ引越センターを使うことはないと思います。
アリさんマークの引越社 (引越社関西)
- 荷物の扱いが丁寧。 大きな荷物(電子レンジなど)は運ぶ前にほこりを拭いてくれる。
- ちょっとした清掃などもおねがいすればやってくれる(10分間サービス)。
2回使いましたが、2回とも気持ちよく引越できました。
サカイ引越センター
- いろんな荷物の扱いが雑。
- 部屋の中に汗がどんどん滴り落ちる。
- かなり安くできる。
- 使用後の段ボールを取りにきた人が怪しい人。
- 営業はしつこい。
- 契約後の連絡が遅い・不十分。
西宮・尼崎エリアのチームは日本国内でもトップレベルだと営業が言っていましたが、さほどでもないです。
そのほかだとアーク引越センターを使ったことがあります。 立ち会ったのは私ではないので詳細はわかりませんが、 悪い話は聞いていません。
A Life Summary of an Gypsy
