ピタゴラス数: ディオファントスの式


三平方の定理(ピタゴラスの定理)を満たす整数をピタゴラス数といいます。 たとえば \( (3, 4, 5) \) はピタゴラス数です。


三平方の定理 (ピタゴラスの定理)

直角三角形の3辺の長さを \( a, b, c \; (a \lt c , b \lt c) \) とするとき、次の式が成り立つ。

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

また逆に、この式が成り立つとき、 \( a, b, c \) が3辺の長さとなる三角形は直角三角形である。

これを古代の数学者ディオファントスが考察し、次のような式を導きだしました。

ディオファントスの式

共通な因数を持たないピタゴラス数 \( a, b, c \) は 一方が偶数でもう一方が奇数となる互いに素な自然数 \( m, n \; ( n \lt m ) \) によって次のように表せる。

\begin{cases}
a = m^2 – n^2 \\
b = 2mn \\
c = m^2 + n^2
\end{cases}

実際に \( m, n \) に数をあてはめてみると、 次のようになります。

m n a b c
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
4 1 15 8 17
4 3 7 24 25
5 2 21 20 29

このディオファントスの式を導いてみます。

導出

\( a, b \) の一方は奇数、他方は偶数になる

共に偶数とならないことの証明

もし \( a, b \) に共通因数 \( d \) があると仮定すると、 \( a, b \) はある自然数 \( a_0 , b_0 \) を用いて次のように書ける。

\begin{cases}
a = a_0 d \\
b = b_0 d
\end{cases}

このとき

\begin{eqnarray*} c^2 & = & a^2 + b^2 \\
& = & d^2 \left( a_0 ^2 + b_0 ^2 \right) \end{eqnarray*}

となり、 \( c \) も \( d \) の倍数となることがわかる。 しかし、 \( a, b, c \) は共通因数を持たないという仮定に反するので \( a, b \) が共通因数を持つことはなく、 ともに偶数となることもない。

共に奇数とならないことの証明

\( a, b \) が共に奇数だと仮定すると、 \( a, b \) はある自然数 \( a_0, b_0 \) を用いて次のように書ける。

\begin{cases}
a = 2 a_0 + 1 \\
b = 2 b_0 + 1 \end{cases}

このとき

\begin{eqnarray*} c^2 & = & a^2 + b^2 \\
& = & \left( 2 a_0 + 1 \right) ^2 + \left( 2 b_0 + 1 \right) ^2 \\
& = & 4 a_0 ^2 + 4 a_0 + 1 + 4 b_0 ^2 + 4 b_0 + 1 \\
& = & 4 \left( a_0 ^2 + a_0 + b_0 ^2 + b_0 \right) + 2 \end{eqnarray*}

となることから \( c \) は偶数で、 \( c^2 \) を4で割ると 2余ることがわかる。 しかし、 偶数は 2乗すると 4で割り切れるので矛盾する。 よって \( a, b \) が共に奇数となることはない。

以上より \( a , b \) の一方は奇数でもう一方が偶数になることがわかる。

\( a^2 + b^2 = c^2 \) より

\begin{eqnarray*} b^2 & = & c^2 – a^2 \\
& = & \left( c + a \right) \left( c – a \right) \\
\left( \frac{b}{2} \right) ^2 & = & \frac{c + a}{2} \frac{c – a}{2} . \end{eqnarray*}

ここで、 \( \frac{c + a}{2} \) と \( \frac{c – a}{2} \) に共通の因数はない。

補足

もし \( \frac{c + a}{2} \) と \( \frac{c – a}{2} \) に共通の因数が存在する場合、

\begin{cases} \frac{c + a}{2} = k p \\
\frac{c – a}{2} = k q \end{cases}

のように書くことができ、

\begin{cases} a = k \left( p – q \right) \\
b = k p q \\
c = k \left( p + q \right) \end{cases}

となる。 しかしこれは \( a, b, c \) が共通因数を持たないという仮定に反する。

よって \( \frac{c + a}{2} \) と \( \frac{c – a}{2} \) はそれぞれ ある互いに素な自然数の2乗で表される。 そこで

\begin{cases} \frac{c + a}{2} = m^2 \\
\frac{c – a}{2} = n^2 \end{cases}

とする。 これより

\begin{eqnarray*} a & = & \frac{c + a}{2} – \frac{c – a}{2} \\
& = & m^2 – n^2 , \\
b & = & \sqrt{ \frac{c + a}{2} \frac{c – a}{2} } \\
& = & \sqrt{ m^2 n^2 } \\
& = & mn , \\
c & = & \frac{c + a}{2} + \frac{c – a}{2} \\
& = & m^2 + n^2 . \end{eqnarray*}