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2次方程式の解の公式を導出します。
解の公式
2次方程式 ( a x ^2 + bx + c = 0 ; ( a neq 0 ) ) の解は次の式で表されます。
[ x = frac{ – b pm sqrt{ b^2 – 4ac}}{2a} ]導出
まずは素直に導出してみます。
begin{eqnarray*} a x ^2 + bx + c & = & 0 x ^ 2 + frac{b}{a} x + frac{c}{a} & = & 0 left( x + frac{b}{2a} right) ^ 2 – frac{b^2}{4a^2} + frac{c}{a} & = & 0 left( x + frac{b}{2a} right) ^ 2 – frac{b^2 – 4ac}{4a^2} & = & 0 left( x + frac{b}{2a} right) ^ 2 & = & frac{b^2 – 4ac}{4a^2} end{eqnarray*}右辺の ( frac{b^2 – 4ac}{4a^2} ) が 0以上 のとき、
begin{eqnarray*} x + frac{b}{2a} & = & pm sqrt{frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} & = & pm frac{sqrt{b ^ 2 – 4ac}}{2a} x & = & frac{ – b pm sqrt{b ^ 2 – 4ac}}{2a} end{eqnarray*}詳しく導出
ここでは記号を導入して、上と同じことをもう少しわかりやすく書いてみます。
[ a x ^2 + bx + c = 0 ]両辺を ( a ) で割ります。
[ x ^2 + frac{b}{a} x + frac{c}{a} = 0 ]( frac{b}{a} = 2A ) 、 ( frac{c}{a} = B ) とおいて式を書き換えます。
begin{eqnarray*} x^2 + 2A x + B & = & 0 x^2 + 2A x & = & -B end{eqnarray*}ここで、左辺が何かの2乗の形になるように、 ( A^2 ) を両辺に足します。 これは平方完成といわれます。
begin{eqnarray*} x^2 + 2A x + A^2 & = & A^2 – B left( x + A right) ^2 & = & A^2 – B end{eqnarray*}ここで、 ( A^2 – B geq 0 ) となるとき
begin{eqnarray*} x + A & = & pm sqrt{A^2 – B} x & = & – A pm sqrt{A^2 – B} end{eqnarray*}( 2A = frac{b}{a} ) 、 ( B = frac{c}{a} ) でしたから、 最後の式から ( A, B ) を消去して ( a, b, c ) の式に書き換えることができます。
begin{eqnarray*} x & = & – frac{b}{2a} pm sqrt{frac{b^2}{4a^2} – frac{c}{a}} & = & – frac{b}{2a} pm sqrt{frac{b^2}{4a^2} – frac{4ac}{4a^2}} & = & – frac{b}{2a} pm sqrt{frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} & = & – frac{b}{2a} pm frac{sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} & = & frac{ -b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} end{eqnarray*}
