和算 通過算


通過算について説明します。 基本的なところは旅人算と同じです。

例題

長さ 20 m の列車が秒速 40 m で長さ 80 m のトンネルを通り抜けるのにかかる時間を求めよ。

答え

2.5 秒

解法

まず列車の先端部分を考えます。 列車の先端がトンネルを抜けるのにどれくらい時間がかかるでしょうか。

速さは 秒速 40 m 、 トンネルの長さは 80 m ですから

\[ 80 \div 40 = 2 \textrm{[秒]} \]

となります。

しかし先端がトンネルから抜けても、車体はトンネルの中にあります。 列車全体がトンネルから抜けるには あと 20 m 移動しなければなりません。 20 m というのは 列車の長さです。

\[ 20 \div 40 = 0.5 \textrm{[秒]} \]

より、 車体全体がトンネルから抜けるまで、 0.5 秒 の時間が追加で必要になります。

以上より、 列車がトンネルを通過するのにかかる時間は

\[ 2 + 0.5 = 2.5 \textrm{[秒]} \]

です。

別解

列車の先端がトンネルに到達したときから、末尾がトンネルを抜けるのにかかる時間を考えます。

先端がトンネルに到達したとき、列車最後尾からトンネルまでの距離は \( 80 + 20 = 100 \) m です。

列車の最後尾は、その 100 m の距離を 秒速 40 m で走り抜けます。

\[ 100 \div 40 = 2.5 \textrm{[秒]} \]


練習問題

問題1

長さ 1 m のリヤカーが 秒速 2 m で走っています。 うしろから、長さ 2 m の(やり)が 秒速 4 m で飛んできます。 槍がリヤカーに追いついてから追い越すまでにかかる時間を求めなさい。

答え

1.5 秒

解法

リヤカーの直後に槍がきたとき、 槍の最後尾からリヤカーの先端までの距離は \( 1 + 2 = 3 \textrm{[m]} \) になります。

その 3 m を槍の最後尾が通り抜けるのにかかる時間を考えます。 ここでは 槍 が 秒速 4 m で飛んでくる一方で、 リヤカーが 秒速 2 m で走っていることに注意が必要です。

秒速 2 m で リヤカー の先端が進み、 秒速 4 m で 槍の最後尾が追いかけるため、 リヤカーの先端と槍の最後尾の距離は、 秒速 \( 4 – 2 = 2 \) m で 縮んでいきます。 つまり、 先ほど計算した 3 m という距離は 秒速 2 m で縮んでいくことになります。

\[ 3 \div 2 = 1.5 \textrm{[秒]} \]

答えは 1.5 秒 です。

問題2

長さ 4 cm のミニカーと長さ 3 cm のミニカーが向かい合って、それぞれ 分速 2 m 、分速 1 m で走っています。これらのミニカーがすれ違うにはどれだけの時間が必要ですか。

答え

1.4 秒

解法

長さ 4 cm のミニカーと 長さ 3 cm のミニカー が出会ってから、 それぞれのミニカーの最後尾が一致するまでの時間を考えます。

2つのミニカーが出会ったとき、 2つのミニカーの最後尾は \( 4 + 3 = 7 \) cm 離れています。

2つのミニカーは 向かい合っていますから、 この ミニカーの最後尾の距離 7 cm が 分速 \( 2 + 1 = 3 \) m で縮んでいきます。 単位を変換すると、 秒速 \( 3 \times 100 \div 60 = 5 \) cm で縮むことになります。

よって、 2つのミニカーがすれ違うのにかかる時間は

\[ 7 \div 5 = 1.4 \textrm{[秒]} \]

となります。

方程式で解く

例題を方程式で解いてみます。

解法

かかる時間を \( x \) 分 とすると、 列車の最後尾が 秒速 40 m で通り過ぎるのは 列車の長さ 20 m と トンネルの長さ 80 m なので 次の式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
40 x & = & 20 + 80 \\
& = & 100 \\
x & = & 2.5
\end{eqnarray}

よって かかる時間は 2.5 秒 です。