和算 旅人算


旅人算 について説明します。 差がどうやって変わっていくのかに注目します。

例題

甲と乙が同じ場所にいる。 甲が分速 60 m で北へ向かって歩き出した。 その 4分後に乙が北へ向かって分速 80 m で北へ向かって歩き出した。 2人が出会うのは、乙が歩き始めてから何分後か。

答え

12 分後

解法

4分後、甲は、出発地点より \( 60 \times 4 = 240 \textrm{m} \) 離れた地点にいます。 このとき甲と乙の距離は 240 m です。

乙は4分後に北に向かって歩き出します。

甲も乙も北に向かっていますが、乙のほうが早いので 2 人 はどこかで出会います。

240 m の距離がどのように縮まっていくのかを考えます。 甲は分速 60 m 、 乙は分速 80 m ですから、 1 分 あたり \( 80 – 60 = 20 \textrm{m} \) 縮まることになります。

ということは、甲と乙の距離が 0(ゼロ) 、つまり甲と乙が出会うのは、

\[ 240 \div 20 = 12 \textrm{[分後]} \]

よって、 2人が出会うのは、乙が歩き始めてから 12 分後 となります。

ちなみに、不動産や地図に関する ” 徒歩 5 分 ” などの表示は、分速 80 m で計算されています(記事執筆時点での情報)。

練習問題

問題1

太郎と次郎が同じ地点から 360 m 離れた地点に行って戻ってきます(往復します)。 太郎が分速 75 m で、 次郎が分速 45 m で歩くとき、 2人が出会うのは何分後ですか?

答え

6 分後

解法

太郎のほうが速いので、太郎は折り返し地点からの復路で、次郎は折り返し地点への往路で出会います。 出会うまでに 2人 が進む距離は 合計 720 m です。

720 m の距離は 2人の速さの和のペースで縮んでいきます。 具体的には 分速で

\[ 75 + 45 = 120 \textrm{[m]} \]

となります。

よって、距離が 0(ゼロ) になるのは

\[ 720 \div 120 = 6 \textrm{[分後]} \]

です。

別解法

太郎が先に折り返し地点に到達するので、 太郎が折り返し地点についたところまで時間を進めてみます。

太郎が折り返し地点につくのは

\[ 360 \div 75 = \frac{24}{5} \textrm{[分後]} \]

です。

このとき次郎は出発地点から

\[ 45 \times \frac{24}{5} = 216 \textrm{[m]} \]

のところにいます。

このとき 折り返し地点にいる 太郎 と、 往路にいる 次郎 の距離は

\[ 360 – 216 = 144 \textrm{[m]} \]

です。

この 144 m を太郎と次郎が向かい合って歩くので、 2人が出会うまでには

\begin{eqnarray} & & 144 \div \left( 75 + 45 \right) \\
& = & 144 \div 120 \\
& = & \frac{6}{5} \textrm{[分]} \end{eqnarray}

かかります。

以上より、 2人が出会うまでの時間は

\[ \frac{24}{5} + \frac{6}{5} = 6 \textrm{[分]} \]

です。

問題2

ジョンソンがオフィスからトイレに駆け込みます。 ジェイムズがトイレからオフィスに戻ってきます。 いま、オフィスとトイレが 28 km 離れているとします。 ジョンソンが時速 5 km で走り、ジェイムズが時速 2 km で歩くとすると、 2人がすれ違うのは何分後ですか?

答え

240 分後

解法

オフィスとトイレの間をジョンソンとジェイムズが向かい合って移動します。 2人の距離 28 km は 時速 ( \( 2 + 5 = \) ) \( 7 \) km で縮まっていきます。

\[ 28 \div 7 = 4 \]

より、 4時間後にすれ違うことがわかります。 4時間は 240分 なので、答えは 240分後になります。

方程式で解く

例題を方程式で解いてみます。

甲と乙が同じ場所にいる。 甲が分速 60 m で北へ向かって歩き出した。 その 4分後に乙が北へ向かって分速 80 m で北へ向かって歩き出した。 2人が出会うのは、乙が歩き始めてから何分後か。

解法

乙が歩き始めてから \( x \) 分後 に出会うとして式を立ててみましょう。 甲は乙より4分先に出発しているので、 \( x + 4 \) 分 歩くことになります。

\[ 60 \left( x + 4 \right) = 80 x \]

これを解いて

\[ x = 12 \textrm{[分後] 。} \]