和算 鶴亀算


桂三枝の新作落語「宿題」にも出てくる鶴亀算を説明してみます。 一番最初はうさぎとひつじを数える雉兎算として大昔の中国で考えられたものらしいです。

例題

鶴と亀、あわせて、足の数は78、頭の数は34。 鶴と亀の個体数を求めよ。

頭を数えた時点でどちらが何匹かはわかりますが、ここはそういう問題です。

答え

鶴が29羽、 亀が5頭。

解法

鶴亀算も他の計算と同じで、差を使って答えを求めます。

鶴も亀も足は2本以上です。 ということは、少なくとも \( 34 \times 2 \) 本 の足があります。

\[ 34 \times 2 = 68 ( \textrm{本} ) \]

今、 78本の足があり、 68本との差は “10本” です。

どうして差が出てくるのか。 それは亀の足の数が4本だからです。 つまり、 差の “10本” は すべて亀の足です。

亀1頭につき 2本 の差が出てくるので

\[ 10 \div 2 = 5 ( \textrm{頭} ) \]

が亀の頭数です。

亀が 5頭 なので、 個体数 34 から 5 を引いて 鶴は29羽です。

もしすべて亀だったら…と書いてある本もあります。 それは全て亀だった場合と、足の総本数との差から計算をするやり方で、 基本的に同じです。

練習問題

問題1

230ページ の本と 180ページ の本があわせて 9冊 あります。 ページ数は、合わせて 1920ページ。 2種類の本はそれぞれ何冊ありますか?

問題2

白米3kgの入った袋と玄米2kgの入った袋があります。 2種類の袋は合わせて45袋。重さ(質量)はあわせて 113kg。 白米は全部で何kgありますか?

答え

69kg

方程式で解く

鶴と亀、あわせて、足の数は78、頭の数は34。 鶴と亀の個体数を求めよ。

解法

\( x \) 、 \( y \) を使って連立2元1次方程式で解いてもいいですが、 1次方程式で解いてみます。

亀の数を \( x \) とします。 全部で 34匹 なので 鶴は \( \left( 34 – x \right) \) 匹 です。

足の数は 78本 なので、 次の式が成り立ちます。

\[ 4 x + 2 \left( 34 – x \right) = 78 \]

この式を解いて

\[ x = 5 \textrm{。} \]

これより亀が5頭で鶴が \( 34 – 5 = 29 \) 羽です。