数学: 円の面積を導出する


円の面積がなぜ \( \pi r^2 \) ( \( r \) は半径 ) になるのかを説明します。 (使っている図が悪いので後日差し替えます。)

掛け算で三角形の面積を求めるものの、その他の積分計算や極限計算は使わないようにしました。 掛け算の記号 ( \( \times \) ) を省略することと、 文字で数を表していることと、 \( x ^2 = x \times x \) と、 ルート ( \( \sqrt{x} \) は \( \sqrt{x} \times \sqrt{x} = x \) となる正の数 ) がわかれば中学校あるいは小学校の算数・数学で理解できると思います。

ここでは話を簡単にするために、 半径1の円、単位円を考えます。

円周率の定義

円周率を \( \pi \) で表します。 この \( \pi \) は円において次の式を満たす数とします。

\[ \textrm{(円周の長さ)} = 2 \pi \times \textrm{(半径)} \]

単位円においては、 円周が \( 2 \pi \) となります。

具体的な値としては 3.141592… として知られています。

円の面積を 正 \( n \) 角形 で評価する

内接する 正 \( n \) 角形 と 外接する 正 \( n \) 角形 を考えます。 ( \( n \geq 3 \) )

正 \( n \) 角形 の面積を \( 2n \) 個の 直角三角形 に分割して考えます。



28個の直角三角形に分けられた内接正14角形と外接正14角形

そして \( 2n \) 分割された直角三角形のうちの一つを取り出して、 \( x, y \) を次のように定めます。

yx1
  • \( x \) : 内接正 \( n \) 角形 を分割した直角三角形の、 直角と円の中心を結ぶ辺の長さ
  • \( y \) : 内接正 \( n \) 角形 を分割した直角三角形の、 直角を通り円弧に交わる辺の長さ

このとき 外接正 \( n \) 角形 を分割した直角三角形の、 直角を通り円に接する辺の長さは 相似比から \( \frac{x}{y} \) となります。 上の図で赤色になっている円弧の長さは、 円周 \( 2 \pi \) を \( 2n \) 分割した円弧なので \( \frac{2 \pi}{2n} = \frac{\pi}{n} \) となります。

yx1π/ny/x

三角形の面積を求めて、内接及び外接正 \( n \) 角形の面積を求めます。

内接正 \( n \) 角形 を \( 2n \) 分割した直角三角形の面積は \( \frac{1}{2} xy \) 、 外接正 \( n \) 角形 を \( 2n \) 分割した直角三角形の面積は \( \frac{y}{2x} \) です。

これらを \( 2n \) 倍すると 内接及び外接正 \( n \) 角形の面積を求めることができます。

  • 内接正 \( n \) 角形 : \( nxy \)
  • 外接正 \( n \) 角形 : \( n \frac{y}{x} \)

円の面積は内接正 \( n \) 角形より大きく 外接正 \( n \) 角形より小さいですから、 円の面積を \( s \) とすると次の不等式が成り立ちます。

\[ nxy \lt s \lt n \frac{y}{x} \]

\(x , y \) を \( n \) で評価する

先ほど \( s \) の比較の式を得ることができましたが、 このままでは \( s \) を求めることはできません。 そこで \( x \) , \( y \) を不等式で評価します。

\( x \) の評価

まずは \( x \) について評価をします。

円を分割したときの、三角形の辺と円周の交点から鉛直方向に線をひきます。 すると円の直径は、鉛直方向の線により \( n \) 個に分割されます。

分割された円の直径のうち、一番端の部分、図で言う紫の部分は、 直径を単純に \( n \) 等分した \( \frac{2}{n} \) よりも小さいです。 そして \( x \) は半径 1 から 紫の部分を引いたものに等しいですから、

\[ 1 – \frac{2}{n} \lt 1 – \textrm{(紫)} = x . \]

\( y \) の評価

\( y \) は円弧より短いです。 半径1の円の円周は \( 2\pi \) 、 円を直角三角形 \( 2n \) 個 に分割したので、 1, \( x \) , \( y \) の直角三角形に対応する部分の円弧は \( \frac{2 \pi}{2n} = \frac{\pi}{n} \) 。 これより

\[ y \lt \frac{\pi}{n} \]

そして \( y \) は半径 \( x \) の円弧 \( x \frac{\pi}{n} \) よりは大きいです。

y1π/nxxπ/n

\( x \) は上で見たように \( 1 – \frac{2}{n} \) より大きいですから、

\[ \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \frac{\pi}{n} \lt x \frac{\pi}{n} \lt y . \]

以上より、次の不等式が得られます。

\[ \left( 1 – \frac{2}{n} \right) \frac{\pi}{n} \lt y \lt \frac{\pi}{n} \]

\( s \) を \( n \) で評価する

正 \( n \) 角形 で評価した \( s \) の式から \( x \) , \( y \) を消して \( s \) を \( n \) で評価します。。

\[ nxy \lt s \lt n \frac{y}{x} \]

\( x \) , \( y \) の評価式から、

\begin{eqnarray*}
nxy & \gt & n \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \frac{\pi}{n} \\
& \gt & \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi , \\
n \frac{y}{x} & \lt & n \frac{\frac{\pi}{n}}{1 – \frac{2}{n}} \\
& \lt & \frac{n \pi}{n-2} .
\end{eqnarray*}

以上をまとめると

\[ \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi \lt s \lt \frac{n \pi}{n-2} \]

n が大きくなると 右辺と左辺が \( \pi \) に近づいていくのがわかりますね。

円の面積を求める

上で得られた式から、円の面積が \( \pi \) になりそうだということがわかります。 背理法で円の面積が \( \pi \) になることを確かめます。

円の面積の上側評価

円の面積が \( \pi \) より大きいと仮定して、 \( s = \pi + \delta \) ( \( \delta \gt 0 \) ) とします。

\( s \lt n \frac{\pi}{n-2} \) でした。 この式を整理すると、

\begin{eqnarray*}
\pi + \delta & \lt & \frac{n \pi}{n – 2} \\
\delta & \lt & \frac{n \pi}{n – 2} – \pi \\
& \lt & \frac{n \pi – \left( n – 2 \right) \pi}{n – 2} \\
& \lt & \frac{2 \pi}{n – 2} \\
\left( n – 2 \right) \delta & \lt & 2 \pi \\
n – 2 & \lt & \frac{2 \pi}{\delta} \\
n & \lt & \frac{2 \pi}{\delta} + 2
\end{eqnarray*}

となります。 上の式はすべての \( n \) について成り立つべき関係式なのですが、 \( n \) が \( \frac{2 \pi}{\delta} + 2 \) 以上になると成立せず矛盾します。

よって円の面積は \( \pi \) 以下となります。

\[ s \leq \pi \]

円の面積の下側評価

円の面積が \( \pi \) より小さいと仮定して、 \( s = \pi – \delta \) ( \( \delta \gt 0 \) ) とします。

\( \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^ 2 \pi \lt s \) でした。 この式を整理すると、

\begin{eqnarray*}
\left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi & \lt & s \\
\left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi & \lt & \pi – \delta \\
\left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 & \lt & \frac{\pi – \delta}{\pi} .
\end{eqnarray*}

\( n \geq 3 \) ですから、

\begin{eqnarray*}
1 – \frac{2}{n} & \lt & \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} \\
1 & \lt & \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} + \frac{2}{n} \\
1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} & \lt & \frac{2}{n} \\
n \left( 1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} \right) & \lt & 2 \\
n & \lt & \frac{2}{1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}}}
\end{eqnarray*}

となります。 上の式はすべての \( n \) について成り立つべき関係式なのですが、 \( n \) が \( \frac{2}{1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}}} \) 以上になると成立せず矛盾します。

よって円の面積は \( \pi \) 以上となります。

\[ \pi \leq s \]

以上の式より \( \pi \leq s \leq \pi \) すなわち \( s = \pi \) となります。