振動・波動 基礎知識


振動

ある安定点の周りで微小な変異を与えた時に、復元力が働いてその周りで繰り返し往復運動が起きる現象です。

振動の例

  • ばねの運動
  • 楽器の弦
  • 地震
  • 音 (空気の疎密波)
  • 電波 (電場・磁場の振動状態)
  • 送電 (電流の交流)
  • 光 (電磁波の一種)
  • 株価・為替変動 (安定点は不明瞭だがある安定点の周りを振動しているといえる)
  • 統計値の変動

単振動

振動とは、ある安定点のまわりで往復する動きで複雑なものも含まれるが、単振動とは \( \sin \) , \( \cos \) で表される振動を指します。

典型的な例 (1次元)

ばねの一端を固定し、もう一端に質量 \( m \) の重りをつけます。

安定点からの変異量(長さ)を \( x \) とすると、 復元力 \( F \) は \( k \) を正定数として \( F = -kx \) と書けます。 (フックの法則)

このときの運動方程式は次のようになります。

\[ m \frac{d^2 x}{d t ^2} = F \; (=-kx) \]

この運動方程式の解は、\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \), \( A \), \( \alpha \) , \( \beta \) を定数として \( x = A \sin ( \omega t + \alpha ) \) または \( x = A \sin ( \omega t + \beta ) \) のように書くことができます。

特にこの例は一次元の単振動で、一次元調和振動と呼ばれることもあります。

振動の物理量

振幅 Amplitude
単振動の例では \( A \)。
位相 Phase
単振動の例では \( \omega t + \alpha \) 。 \( \alpha \) は、初期位相、位相定数と呼ばれる。
周期 Period
\( x(t) \), \( v(t) \) をそれぞれ時刻 \( t \) での位置、速度を表す関数として、 \( x(t + T) = x(t) \), \( v(t + T) = v(t) \) を満たす定数 \( T \) のうち最小のものを周期といいます。 単振動の例では \( T = \frac{2 \pi}{\omega} ) 。
周波数・振動数 Frequency
単位時間あたりの振動の回数。 単振動の例では \( f = \sqrt{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi} \) 。 単位時間は、多くは秒で、単位は Hz(ヘルツ) が用いられる。
角周波数・角振動数 Angular Frequency
単位時間あたりの回転角度をラジアン単位で表したもの。 単振動の例では \( \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \) 。