証明: ヘロンの公式


ヘロンの公式を証明します。

まず三角形ABCを考えます。 角 \( A, B, C \) に向かい合う辺をそれぞれ \( a, b, c \) とします。

ABCbca

ここで三角形の面積が \( \frac{1}{2} bc \sin A \) で表されることは既知とします。

ヘロンの公式

三角形の面積 \( S \) は \( s = a + b + c \) を用いて次のように表される。

\[ S = \sqrt{s \left( s – a \right) \left( s – b \right) \left( s – c \right) } \]

証明

三角形の面積を \( \sin \) で表した後、 \( \cos \) の式に書き換え、 第2余弦定理を使って \( \cos \) を辺の長さのみの式に書き換えて整理すればヘロンの公式が導けます。

\begin{eqnarray*} S & = & \frac{1}{2} bc \sin A \\
& = & \frac{1}{2} bc \sqrt{ 1 – \cos ^2 A } \\
& = & \frac{1}{2} bc \sqrt{ \left( 1 – \cos A \right) \left( 1 + \cos A \right) } \end{eqnarray*}

第2余弦定理から

\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} . \]

よって

\begin{eqnarray*} & & S \\
& = & \frac{1}{2} bc \sqrt{ \left( 1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) } \\
& = & \frac{1}{2} \sqrt{ \left( bc – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2} \right) \left( bc + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2} \right) } \\
& = & \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ a^2 – b^2 + 2bc – c^2}{2} \frac{b^2 + 2bc + c^2 – a^2}{2} } \\
& = & \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{a^2 – \left( b – c \right) ^2 }{2} \frac{ \left( b + c \right) ^2 – a^2}{2} } \\
& = & \frac{1}{4} \sqrt{ \left\{ a^2 – \left( b – c \right) ^2 \right\} \left\{ \left( b + c \right) ^2 – a^2 \right\} } \\
& = & \frac{1}{4} \sqrt{ \left(a – b + c \right) \left( a + b – c \right) \left( b + c – a \right) \left( b + c + a \right) } \\
& = & \frac{1}{4} \sqrt{ \left( 2s – 2b \right) \left( 2s – 2c \right) \left( 2s – 2a \right) 2s } \\
& = & \sqrt{ s \left( s – a \right) \left( s – b \right) \left( s – c \right) } .
\end{eqnarray*}