証明: 数列が収束する必要十分条件


数列が収束する必要十分条件を証明します。 (ここで証明するのは Cauchy(コーシー)の判定法ではありません。)

まずは収束の定義の確認です。

定義

数列 \( \{\alpha _n \} \) が実数 \( \alpha \) に収束するとは、 任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対応して 自然数 \( n_0 ( \varepsilon ) \) が定まって次を満たすことをいう。

\[ n > n_0 (\varepsilon) \Rightarrow | \alpha _n – \alpha | < \varepsilon \]

数列 \( \{ \alpha _n \} \) が \( \alpha \) に 収束する必要十分条件は次のようになります。


定理

数列 \( \{ \alpha _n \} \) が 実数 \( \alpha \) に収束するための必要十分条件は、 \( \rho < \alpha < \sigma \) を満たす実数 \( \rho , \sigma \) が任意に与えられたとき、 次の不等式が有限個の自然数 \( n \) を除いて成立することである。

\[ \rho < \alpha _n < \sigma \]

証明

必要であることの証明

\( \{ \alpha _n \} \) が \( \alpha \) に収束すると仮定する。 \( \rho < \alpha < \sigma \) なる実数 \( \rho , \sigma \) について、 \( \alpha - \rho \) と \( \sigma - \alpha \) のいずれか小さい方を \( \varepsilon \) とする。 このとき

\[ \rho = \alpha – ( \alpha – \rho ) \leq \alpha – \varepsilon \lt \alpha \lt \alpha + \varepsilon \leq \alpha + ( \sigma – \alpha ) = \sigma . \]

\( \{ \alpha _n \} \) は \( \alpha \) に収束するので、 \( \varepsilon \) に対して \( n_0(\varepsilon) \) が存在して \( n > n_0(\varepsilon) \) のとき \( | \alpha _n – \alpha | < \varepsilon \) 、 すなわち

\[ \alpha – \varepsilon \lt \alpha _ n \lt \alpha + \varepsilon \]

が成り立つ。

以上より、 有限個の自然数 \( n = 1, 2, \cdots , n_0 (\varepsilon) \) を除いて

\[ \rho \lt \alpha _n \lt \sigma \]

が成り立つ。

十分であることの証明

任意の実数 \( \rho , \sigma \) \( ( \rho \lt \alpha \lt \sigma ) \) について、 有限個の自然数 \( n \) を除いて \( \rho < \alpha _n < \sigma \) が成り立つことから、 任意の実数 \( \varepsilon \) について 有限個の自然数 \( n \) を除いて次が成り立つ。 ( \( \rho = \alpha – \varepsilon , \sigma = \alpha + \varepsilon \) として式を作る。 )

\[ \alpha – \varepsilon \lt \alpha _n \lt \alpha + \varepsilon \]

除外された 有限個の自然数のうち、 最大のものを \( n_0 (\varepsilon) \) とすると、

\[ n \gt n_0 ( \varepsilon ) \Rightarrow | \alpha _n – \alpha | \lt \varepsilon \]

となって収束することがわかる。