\( \sum _{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1) \) を数学的帰納法で証明する


次の式を数学的帰納法を用いて証明します。

$$ \sum _{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1) $$

証明

\( n = 1 \) の場合

左辺は 1, 右辺は \( \frac{1}{2} 1 ( 1 + 1 ) = 1 \) で等式が成り立ちます。

\( n = m \) の場合を仮定する

\( n = m \) の場合に等式が成り立つと仮定します。

このとき、 \( n = m + 1 \) では

\begin{eqnarray*}
\textrm{(左辺)} – \textrm{(右辺)} & = & \sum _{k=1}^{m + 1} k – \frac{1}{2} ( m + 1 ) (m + 1 + 1) \\
& = & \sum _{k = 1}^{m} k + m + 1 – \frac{1}{2} m ( m + 1 ) – ( m + 1 ) \\
& = & m + 1 – ( m + 1 ) \\
& = & 0
\end{eqnarray*}

となる。 よって \( n = m + 1 \) のときも等式が成り立つ。

この公式は、 書籍 代数系入門 (松坂和夫) でも練習問題として取り上げられています。

また \( k^n \) の総和 公式の導出 では別の方法で数式を導出しています。