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サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する


サッカーボールには、正5角形と正6角形が使われています。 それぞれいくつ使われているのかを考えてみましょう。

オイラーの定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

定理自体の証明は オイラーの多面体定理を考える に記述しました。

これを利用して、 5角形 の数 と 6角形 の数 を計算します。 ( サッカーボールと正多面体 ではオイラーの定理を使わずに計算しました。 )

計算

5角形の数を \( m \) , 6角形の数を \( n \) とします。

サッカーボールは、1つの頂点に3つの図形の点が重なっているため サッカーボール全体で 頂点の数は \(\frac{5m + 6n}{3}\) 。 変の数は \(\frac{5m + 6n}{2}\) 、 面の数は \(m + n\) 。

オイラーの定理より、次の式が成り立つ。

$$ \frac{5m + 6n}{3} – \frac{5m + 6n}{2} + m + n = 2 $$

この等式を簡単にすると

$$ m = 12 . $$

サッカーボールを見ると、 5角形 の周りには 6角形 は5つあり、 6角形 は必ず 3つ の 5角形 に接している。 これより

$$ n = \frac{5 m}{3} = \frac{5 \times 12}{3} = 20 . $$

以上より、 5角形 と 6角形 はそれぞれ 12, 20個 あることがわかる。

デカルトの定理を使っても、同じように計算することができます。 デカルトの定理は 多面体 デカルトの定理を証明するに書きました。

補足

C60 のフラーレンもサッカーボールの形です。 せっかくなので頂点の数が 60 になるのか確かめてみましょう。

$$ \frac{5m + 6n}{3} = \frac{5 \times 12 + 6 \times 20}{3} = 60 . $$

参考

オイラーの定理は下の本にも載っています。 レベル的には中学生向けの ハンドブックです。 私も使っていました。