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証明: 数列が収束する必要十分条件


数列が収束する必要十分条件を証明します。 (ここで証明するのは Cauchy(コーシー)の判定法ではありません。)

まずは収束の定義の確認です。

定義

数列 \( \{\alpha _n \} \) が実数 \( \alpha \) に収束するとは、 任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対応して 自然数 \( n_0 ( \varepsilon ) \) が定まって次を満たすことをいう。

\[ n > n_0 (\varepsilon) \Rightarrow | \alpha _n – \alpha | < \varepsilon \]

数列 \( \{ \alpha _n \} \) が \( \alpha \) に 収束する必要十分条件は次のようになります。

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