タグ別アーカイブ: 証明

証明: ヘロンの公式


ヘロンの公式を証明します。

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数学: 球の体積を導出する


円の面積を導出する に続いて 球の体積 ( \( \frac{4}{3} \pi r ^3 \) ) を導出してみることにしました。 半径1の球について考えます。

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数学: 円の面積を導出する


円の面積がなぜ \( \pi r^2 \) ( \( r \) は半径 ) になるのかを説明します。 (使っている図が悪いので後日差し替えます。)

掛け算で三角形の面積を求めるものの、その他の積分計算や極限計算は使わないようにしました。 掛け算の記号 ( \( \times \) ) を省略することと、 文字で数を表していることと、 \( x ^2 = x \times x \) と、 ルート ( \( \sqrt{x} \) は \( \sqrt{x} \times \sqrt{x} = x \) となる正の数 ) がわかれば中学校あるいは小学校の算数・数学で理解できると思います。

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角錐の体積が角柱の体積の1/3になる理由


角柱の体積が角(すい)の体積の 3分の1 になる理由を書いておきます。

ここで、 次の2点は既知とします。

  • 底面積と高さが同じ角錐は同じ体積になる。 (これもいつか証明を書きます。)
  • 角柱の体積は底面積と高さの積である。

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証明: 数列が収束する必要十分条件


数列が収束する必要十分条件を証明します。 (ここで証明するのは Cauchy(コーシー)の判定法ではありません。)

まずは収束の定義の確認です。

定義

数列 \( \{\alpha _n \} \) が実数 \( \alpha \) に収束するとは、 任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対応して 自然数 \( n_0 ( \varepsilon ) \) が定まって次を満たすことをいう。

\[ n > n_0 (\varepsilon) \Rightarrow | \alpha _n – \alpha | < \varepsilon \]

数列 \( \{ \alpha _n \} \) が \( \alpha \) に 収束する必要十分条件は次のようになります。

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