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サッカーボールと正多面体


サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する では サッカーボールに使われている 5角形と6角形 の数を計算しました。 ここではその面の数について、別の方面から考えてみます。 オイラーの定理は使いません。

サッカーボール
サッカーボール

6角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある6角形の中心を頂点とする多面体を考えます。 その多面体は1つの面が正5角形になり、また正5角形だけからなる立体です。 これは正12面体になりますね。

正12面体

正12面体の面の数は、サッカーボールに含まれる正5角形の数と同じになります。 これよりサッカーボールの正5角形は12個とわかります。

正12面体の頂点の数は、正6角形の数と同じになります。 頂点の数は \( 5 \times 12 \div 3 = 20 \) です。

これよりサッカーボールの面の数は

\[ 12 + 20 = 32 \]

です。

サッカーボールの辺の数は、5角形と6角形の辺の数を足して、重複を取り除くことで

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 2 = 90 \]

と計算できます。

サッカーボールの頂点の数は、1つの頂点を3つの図形で共有していることから

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 3 = 60 \]

と計算できます。

正6角形の中心を頂点として多面体を考えましたが、5角形の中心を頂点として考えることもできます。

5角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある5角形の中心を頂点とする多面体は正20面体になります。 作り方から考えてわかりますが、これは上で見た正12面体の面の中心を頂点とした多面体と同じです。

正20面体
正20面体

切頂多面体

正20面体の頂点を切ってみましょう。

正20面体の頂点を切ると、サッカーボールの形になります。 この頂点を切った正20面体のことを、切頂正20面体または切頭正20面体と呼びます。

正12面体も頂点を切ることでサッカーボールの形にできますが、深く切る必要があります。

正12面体

サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する


サッカーボールには、正5角形と正6角形が使われています。 それぞれいくつ使われているのかを考えてみましょう。

オイラーの定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

定理自体の証明は オイラーの多面体定理を考える に記述しました。

これを利用して、 5角形 の数 と 6角形 の数 を計算します。 ( サッカーボールと正多面体 ではオイラーの定理を使わずに計算しました。 )

計算

5角形の数を \( m \) , 6角形の数を \( n \) とします。

サッカーボールは、1つの頂点に3つの図形の点が重なっているため サッカーボール全体で 頂点の数は \(\frac{5m + 6n}{3}\) 。 変の数は \(\frac{5m + 6n}{2}\) 、 面の数は \(m + n\) 。

オイラーの定理より、次の式が成り立つ。

$$ \frac{5m + 6n}{3} – \frac{5m + 6n}{2} + m + n = 2 $$

この等式を簡単にすると

$$ m = 12 . $$

サッカーボールを見ると、 5角形 の周りには 6角形 は5つあり、 6角形 は必ず 3つ の 5角形 に接している。 これより

$$ n = \frac{5 m}{3} = \frac{5 \times 12}{3} = 20 . $$

以上より、 5角形 と 6角形 はそれぞれ 12, 20個 あることがわかる。

デカルトの定理を使っても、同じように計算することができます。 デカルトの定理は 多面体 デカルトの定理を証明するに書きました。

補足

C60 のフラーレンもサッカーボールの形です。 せっかくなので頂点の数が 60 になるのか確かめてみましょう。

$$ \frac{5m + 6n}{3} = \frac{5 \times 12 + 6 \times 20}{3} = 60 . $$

参考

オイラーの定理は下の本にも載っています。 レベル的には中学生向けの ハンドブックです。 私も使っていました。