奇数と偶数どっちが多い?


奇数は2で割って1余る数、偶数は割り切れる数。

さて、奇数と偶数、どっちが多いんでしょうか。

考え方は自由です。 偶数が多いともいえますし、奇数が多いともいえますし。

数学関連の本では、どちらも同じ数だけある、と書いてあることもあります。 1対1の対応ができるから同じ数だけある、という説明になっています。

そうすると、2の倍数も3の倍数も、同じ数だけあることになります。 そうはいっても、すぐには納得できないのが人情ですよね。

多い少ないを考える前に、「多い」とはなにか、「少ない」とはなにかを決める必要があります。

数学では、ある種の対応の有無で多い少ないを判定します。有限のものに限って言えば、X個とY個を比べればいいのですが、自然数や偶数、倍数などの無限のものについては、個数を比べることができないため、対応を使って判断します。

そして、1対1の対応を作ることができるとき、その2つは同じ数だけあるとみなして扱います。

  • 自然数 \( n \) に対し、偶数 \( 2n \) で偶数と自然数の1対1の対応を作ることができるので、自然数と偶数の数は同じ。
  • 自然数 \( n \) に対し、奇数 \( 2n-1 \) でこれも同じ。
  • 自然数 \( n \) に対し、平方数 \( n \times n \) でこれも同じ。

無限にある自然数ですが、実数と自然数を比較すると実数のほうが多くなります。これは対角線論法を使って証明することができます。