\( \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d} \)


代数系入門 (松坂和夫) 第1章 §8 問題4 の解答です。

\( n \in \mathbb{Z}^+ \) について \( \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d} \) を示します。

問題3 (整数論的関数の反転公式 メビウスの反転公式) より、 \( \varphi \) をオイラーの関数として

\[ G(n) = \sum_{d|n} \varphi(d) \]

とすれば、

\[ \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) G\left(\frac{n}{d}\right) \]

となります。

また、 問題2 (約数についてのオイラー関数の総和は元の数になる) より

\[ G(n) = n \]

です。

以上より

\[ \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d} \]

となります。