二面体群 \( D_4 \) と \( D_6 \) の真部分群


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §3 問題10, 11 の解答です。

二面体群

関係式 ( sigma ^n = e ) , ( tau ^2 = e ) , ( tau sigma = sigma ^{-1} tau ) を満たす2つの生成元 ( tau, sigma ) を持つ位数 ( 2n ) の群 ( D_n ) を2面体群という。

( ( tau sigma ^m ) ^{-1} = tau sigma ^m )

二面体群においては ( ( tau sigma ^m ) ^{-1} = tau sigma ^m ) となります。

begin{eqnarray*} & & ( tau sigma ^m) ( tau sigma ^m ) & = & ( tau sigma ^{m-1} ) ( sigma tau ^ {-1} ) ( tau sigma ^m ) & = & ( tau sigma ^{m – 1} ) ( tau sigma ^ {m – 1}) & & vdots & = & ( tau sigma ) ( tau sigma ) & = & sigma ^{-1} tau tau sigma & = & e end{eqnarray*}

二面体群 ( D_4 ) の部分群

( D_4 = left{ e, tau, sigma, sigma^2, sigma^3, tau sigma, tau sigma^2, tau sigma^3 right} ) となります。

真部分群

位数2
  • ( e, tau )
  • ( e, sigma ^2 )
  • ( e, tau sigma )
  • ( e, tau sigma^2 )
  • ( e, tau sigma^3 )
位数4
  • ( e, sigma, sigma ^2 , sigma ^3 )
  • ( e, tau, sigma ^2, tau sigma ^2 )
  • ( e, tau sigma, sigma ^2, tau sigma^3 )

二面体群 ( D_6 ) の部分群

( D_8 = left{ e, tau, sigma, sigma^2, sigma^3, sigma^4, sigma^5, tau sigma, tau sigma^2, tau sigma^3, tau sigma^4, tau sigma^5 right} ) となります。

真部分群

位数2
  • ( e, tau )
  • ( e, sigma ^3 )
  • ( e, tau sigma )
  • ( e, tau sigma ^2 )
  • ( e, tau sigma ^3 )
  • ( e, tau sigma ^4 )
  • ( e, tau sigma ^5 )
位数3
  • ( e, sigma ^2, sigma^4 )
位数4
  • ( e, tau, sigma^3, tau sigma^3 )
  • ( e, sigma^3, tau sigma^1, tau sigma^4 )
  • ( e, sigma^3, tau sigma^2, tau sigma^5 )
位数6
  • ( e, sigma, sigma^2, sigma^3, sigma^4, sigma^5 )
  • ( e, tau, sigma^2, sigma^4, tau sigma^2, tau sigma^4 )
  • ( e, sigma^2, sigma^4, tau sigma, tau sigma^3, tau sigma^5 )