和算 年齢算


年齢算について説明します。 年齢算という名前ですが、 旅人算が少し変化したものにすぎません。

例題

父が 23 歳 、 子が 3 歳。 父の年齢が子の年齢の 3倍 になるのは何年後か。

答え

7 年後

7 年後 には 父が 30歳、 子が 10歳 になります。

解法

歳をポイントとして考えてみましょう。 父が 23ポイント、 子が 3ポイント 持っているとします。

父のポイントが 子のポイントの 3倍になるときを知りたいのですが、 見方を変えて、 父のポイントが 子3人分 のポイントと等しくなるときを考えます。

子3人のポイントは 毎年 3 ずつ増えていきます。 一方、 父のポイントは 毎年 1 ずつ増えていきます。

子3人と父とのポイント差は \( 23 – 3 \times 3 = 14 \) ポイント。 この差は 毎年 \( 3 – 1 = 2 \) ずつ縮まっていきます。 これが 0(ゼロ) になるのは

\[ 14 \div 2 = 7 \]

年後です。

これを旅人算のようにして書いてみると次のようになります。

A町 から 100km 離れた B町 に向かって父と子3人が移動します。 父は A町 から 23 km 進んだところにいます。 子3人は A町 から 9 km 進んだところにいます。 父は B町 に向かって 毎年 1km の速さで、 子3人は B町 に向かって 毎年 3km の速さで移動するとき、 子3人が父に追いつくのは何年後ですか。

例題

問題1

太郎が52歳、ヨネスケが3歳、米蔵が1歳、ユリエが12歳とします。太郎の年齢が、ヨネスケと米蔵とユリエの年の和の2倍になるのは何年後ですか。 今後60年間、誰も死なないものとします。

答え

4年後

解法

ヨネスケ、米蔵、ユリエの年齢の和の2倍は \( ( 3 + 1 + 12 ) \times 2 = 32 \) で、 毎年 6 ずつ増えていきます。 これと太郎の年齢差が 0 になるときを考えます。

年齢差は \( 52 – 32 = 20 \) 歳で、 これが毎年 \( 6 – 1 = 5 \) 歳 ずつ縮まっていきます。

よって、年齢差が ゼロになるのは

\[ 20 – 5 = 4 \textrm{[年後]} \]

となります。

4年後、 太郎は 56歳 、 ヨネスケ は 7歳、米蔵は 5 歳、 ユリエは 16歳 なので、 太郎を除く 3人の年齢の和は 28歳となり、 2倍すると太郎の年齢に等しくなります。

問題

ぶたさんは13歳、うしさんは2歳、かめさんは60歳、つるさんは13歳です。ぶたさんとうしさんの年齢の和がかめさんとつるさんの年齢の差に等しくなるのは何年後ですか。

答え

16年後

解法

ぶたさんとうしさんの年齢の和は 15歳 で、 毎年 2ずつ増えていきます。 かめさんとつるさんの年齢差は 47歳で、 毎年一定です。

15歳になっている 年齢の和 が 年齢差 47歳になるのは、 その差 \( 47 – 15 = 32 \) がゼロになったときです。 差 32 は 毎年 2 ずつ減っていくので、 ゼロになるのは

\[ 32 \div 2 = 16 \textrm{[年後]} \]

です。

16年後、 ぶたさん 29歳、 うしさん 18歳 で年齢の和は 47歳 になります。

方程式で解く

例題を方程式を使って解いてみます。

解法

\( x \) 年後 に 父の年齢が子の年齢の3倍になるとします。 すると次の式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
23 + x & = & 3 ( 3 + x ) \\
& = & 9 + 3 x \\
2 x & = & 14 \\
x & = & 7
\end{eqnarray}

よって 答えは 7 年後 です。