数学: 2次方程式の解の公式を導出する


2次方程式の解の公式を導出します。


解の公式

2次方程式 \( a x ^2 + bx + c = 0 \; ( a \neq 0 ) \) の解は次の式で表されます。

\[ x = \frac{ \pm b – \sqrt{ b^2 – 4ac}}{2a} \]

導出

まずは素直に導出してみます。

\begin{eqnarray*}
a x ^2 + bx + c & = & 0 \\
x ^ 2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} & = & 0 \\
\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^ 2 – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} & = & 0 \\
\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^ 2 – \frac{b^2 – 4ac}{4a^2} & = & 0 \\
\left( x + \frac{b}{2a} \right) ^ 2 & = & \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
\end{eqnarray*}

右辺の \( \frac{b^2 – 4ac}{4a^2} \) が 0以上 のとき、

\begin{eqnarray*}
x + \frac{b}{2a} & = & \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} \\
& = & \pm \frac{\sqrt{b ^ 2 – 4ac}}{2a} \\
x & = & \frac{ – b \pm \sqrt{b ^ 2 – 4ac}}{2a}
\end{eqnarray*}

詳しく導出

ここでは記号を導入して、上と同じことをもう少しわかりやすく書いてみます。

\[ a x ^2 + bx + c = 0 \]

両辺を \( a \) で割ります。

\[ x ^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \]

\( \frac{b}{a} = 2A \) 、 \( \frac{c}{a} = B \) とおいて式を書き換えます。

\begin{eqnarray*}
x^2 + 2A x + B & = & 0 \\
x^2 + 2A x & = & -B \\
\end{eqnarray*}

ここで、左辺が何かの2乗の形になるように、 \( A^2 \) を両辺に足します。 これは平方完成といわれます。

\begin{eqnarray*}
x^2 + 2A x + A^2 & = & A^2 – B \\
\left( x + A \right) ^2 & = & A^2 – B
\end{eqnarray*}

ここで、 \( A^2 – B \geq 0 \) となるとき

\begin{eqnarray*}
x + A & = & \pm \sqrt{A^2 – B} \\
x & = & – A \pm \sqrt{A^2 – B}
\end{eqnarray*}

\( 2A = \frac{b}{a} \) 、 \( B = \frac{c}{a} \) でしたから、 最後の式から \( A, B \) を消去して \( a, b, c \) の式に書き換えることができます。

\begin{eqnarray*}
x & = & – \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} – \frac{c}{a}} \\
& = & – \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} – \frac{4ac}{4a^2}} \\
& = & – \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}} \\
& = & – \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \\
& = & \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{eqnarray*}