サッカーボールと正多面体


サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する では サッカーボールに使われている 5角形と6角形 の数を計算しました。 ここではその面の数について、別の方面から考えてみます。 オイラーの定理は使いません。

サッカーボール
サッカーボール

6角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある6角形の中心を頂点とする多面体を考えます。 その多面体は1つの面が正5角形になり、また正5角形だけからなる立体です。 これは正12面体になりますね。

正12面体
正12面体

正12面体の面の数は、サッカーボールに含まれる正5角形の数と同じになります。 これよりサッカーボールの正5角形は12個とわかります。

正12面体の頂点の数は、正6角形の数と同じになります。 頂点の数は \( 5 \times 12 \div 3 = 20 \) です。

これよりサッカーボールの面の数は

\[ 12 + 20 = 32 \]

です。

サッカーボールの辺の数は、5角形と6角形の辺の数を足して、重複を取り除くことで

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 2 = 90 \]

と計算できます。

サッカーボールの頂点の数は、1つの頂点を3つの図形で共有していることから

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 3 = 60 \]

と計算できます。

正6角形の中心を頂点として多面体を考えましたが、5角形の中心を頂点として考えることもできます。

5角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある5角形の中心を頂点とする多面体は正20面体になります。 作り方から考えてわかりますが、これは上で見た正12面体の面の中心を頂点とした多面体と同じです。

正20面体
正20面体

切頂多面体

正20面体の頂点を切ってみましょう。

正20面体の頂点を切ると、サッカーボールの形になります。 この頂点を切った正20面体のことを、切頂正20面体または切頭正20面体と呼びます。

正12面体も頂点を切ることでサッカーボールの形にできますが、深く切る必要があります。 下の正12面体の画像では、切り込みのところで切ると、サッカーボールの形になります。 (ちょっと切り込みが深すぎるので正6角形にはなりませんが、6角形と正5角形の面が出来上がります。)

正12面体