単振動の例


単振動の例を2つ紹介します。

単振り子

θml

振り子の軌道に沿って変異量 \( x \) を定義し、 振り子が鉛直下向きになる位置を \( x = 0 \) とします。 糸の長さを \( l \) , 糸と鉛直下方向の角度をラジアン単位で \( \theta \) とします。 このとき \( \theta = \frac{x}{l} \) です。 また \( \theta \) , \( x \) は 時刻 \( t \) の関数です。

一般の場合

運動方程式は次のようになります。

\begin{eqnarray} m \frac{d^2 x}{dt^2} & = & – mg \sin \theta \\ & = & – mg \sin \frac{x}{l} \end{eqnarray}

これを簡単にして

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} = – g \sin \frac{x}{l} \]

という \( x \) の関係式を得ます。

単振動というのは、本来次のように表されるものでした。

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} = – \omega ^2 x \]

しかし上で得られた式はそのような形にはなっていません。 単振り子の \( x \) の関係式を \( \theta \) の式として書き換えると次のようになりますが、 やはり単振動の式にはなっていません。

\[ \frac{d^2 \theta}{dt^2} = – \frac{g}{l} \sin \theta \]

以上より単振り子は単振動ではありません。

振幅が小さい場合

振幅が小さいという特別な場合を考えると近似的に単振動として扱うことができます。

\[ \theta = \frac{x}{l} \ll 1 \]

振幅が小さいことから、次のように近似できます。

\[ \begin{cases} \sin \frac{x}{l} \approx \frac{x}{l} \\ \sin \theta \approx \theta \end{cases} \]

この近似を利用すると、運動方程式が単振動の微分方程式になります。

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} = – \frac{g}{l} x \]

\(x\) は \( \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \) , 定数 \( \alpha \) , \( a \) を用いて次のように解けます。

\begin{eqnarray} x & = & a \cos \left( \omega t + \alpha \right) \\ & = & a \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}} t + \alpha \right) \end{eqnarray}

減衰

現実的には、支点の摩擦、空気の抵抗などによって振幅が減衰していきます。

LC電気回路

Created with Raphaël 2.0.0-QAVcVl+QBI

コイルのインダクタンスをL, コンデンサの静電容量をCとします。

スイッチをBのほうにつけた状態で長い時間が経った後、スイッチをAのほうに切り替えます。 スイッチを切り替える直前では、コンデンサにQの電化が溜まっているとします。 スイッチを切り替えた後は、電化が行き来する振動回路となります。 そのような回路をコイルのインダクタンスLとコンデンサの静電容量Cを使ってLC回路と呼びます。

図のように、コンデンサの電位差 \( V_c \) , コイルの電位差 \( V_l \) , 電流 \( I \) を定義します。

コンデンサの電位差
\[ V_c = \frac{Q}{C} \]
コイルの電位差
コイルでは電流の時間変化に比例する逆起電力が生じます。 その比例定数はインダクタンスLとなります。
\[V_l = – L \frac{dI}{dt} \]

キルヒホッフの法則から \( V_c + V_l = 0 \) です。 上の式を使って \( V_c \) , \( V_l \) を消去します。

\[ \frac{Q}{C} – L \frac{dI}{dt} = 0 \]

電化の単位時間当たりの変化が電流なので \( I = – \frac{dQ}{dt} \) です。 これを用いて上の式から \( I \) を消去します。

\begin{eqnarray} \frac{Q}{C} + L \frac{d^2 Q}{dt^2} & = & 0 \\ \frac{d^2 Q}{dt^2} & = & – \frac{1}{LC} Q \end{eqnarray}

これよりLC回路は単振動となっており、 角振動数は \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) となります。

定数 \( \alpha \) , \(a\) を用いて \(Q\)は次のように表せます。

\[ Q = a \cos \left( \frac{1}{\sqrt{LC}} t + \alpha \right) \]

参考

周期 \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \) が1となる LC回路 を作ると、 周期が1秒のいわゆる時計を作ることができます。

減衰

現実的には、導線での発熱によりエネルギーが失われるため、振幅が減衰していきます。