n次元ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) と距離の性質


\(n\)次元ユークリッド空間 \( \mathbb{R} ^n \) とその距離についてまとめました。

\(n\)次元Euclid(ユークリッド)空間 \( \mathbb{R}^n \)

直積集合 \( \mathbb{R}^n \) に対し、 下のように距離を定義したとき、 \( \mathbb{R}^n \) を \(n \)次元ユークリッド空間といいます。 そして \( \mathbb{R}^n \) の元を点といいます。

距離

\( \mathbb{R}^n \) の元 \( x = (x_1, \cdots , x_n) \), \( y = (y_1, \cdots , y_n) \) ( \( x_i, y_i \in \mathbb{R} \; (i =1, \cdots , n) \) ) について、 その距離 \( d(x, y) \) を次の式で定義します。

\[ d(x, y) = \sqrt{\sum _{i=1}^n (x_i – y_i)^2 }\]

1次元空間においては \( d(x, y) = | x – y | \) , 2次元空間においては \(d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \) となります。

距離の性質

\( \mathbb{R}^n \) の距離は次の性質を持ちます。

  • 任意の \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について \( d(x, y) \) は負でない実数。
  • \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について \( d(x, y) = 0 \) となる必要十分条件は \( x = y \) 。
  • 任意の \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について \( d(x, y) = d(y, x) \) 。
  • 任意の \( x, y, z \in \mathbb{R}^n \) について \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \) (三角不等式)。

最初の3つは距離 \( d(x, y) \) の定義より明らかです。

最後の式、三角不等式を証明してみます。

証明

\( x = ( x_1, \cdots , x_n) \) , \( y = ( y_1 , \cdots , y_n ) \) , \( z = (z_1 , \cdots , z_n ) \) として、 \( a_i = x_i – y_i \) , \( b_i = y_i – z_i \) と定義します。 すると \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \) は次のように表せます。

\[ \sqrt{\sum _{i=1}^{n} \left( a_i + b_i \right) ^2} \leq \sqrt{\sum _{i=1}^{n} a_i ^2} + \sqrt{\sum _{i=1}^{n} b_i ^2} \]

この式は、両辺を2乗して \( \sum a_i^2 \) , \( \sum b_i ^2 \) の項を消去して両辺を2で割った不等式と同等です。

\[ \sum _{i=1}^{n} a_i b_i \leq \sqrt{ \left( \sum _{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum _{i=1}^n b_i^2 \right) } \]

さらにこの証明は、両辺を2乗した不等式が証明できれば十分です。

\[ \left( \sum _{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum _{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum _{i=1}^n b_i^2 \right) \]

最後の式は Schwarz(シュワルツ)の不等式と呼ばれるもので、 様々な解法が知られています。 \( n = 1 \) のときは等号が成立します。

解法1

\( n \) が2以上の場合を考えます。 右辺から左辺を引いて計算します。

\begin{eqnarray} & & \left( \sum _{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum _{i=1}^n b_i^2 \right) – \left( \sum _{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \\ & = & \sum _{\substack{1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n \\ i \neq j}} a_i ^2 b_j ^2 – 2 \sum _{1 \leq i \lt j \leq n} a_i b_i a_j b_j \\ & = & \sum _{1 \leq i \lt j \leq n} a_i ^2 b_j ^2 + \sum _{1 \leq i \lt j \leq n} a_j ^2 b_i ^2 – 2 \sum _{1 \leq i \lt j \leq n} a_i b_i a_j b_j \\ & = & \sum _{1 \leq i \lt j \leq n} \left( a_i b_j – a_j b_i \right) ^2 \end{eqnarray}

2乗の和ですから0以上になることがわかります。

等号成立条件は、 全ての異なる \( i, j \) について \( a_i b_j – a_j b_i = 0 \) が成り立つことです。

統合成立条件の考察

\( a_i b_j – a_j b_i = 0 \) とは、 2次元ベクトル空間 \( \mathbb{R}^2 \) の元 \( a = (a_i, a_j), b = (b_i, b_j) \) を考えた時、 一方が他方のスカラー倍になっているという状態です。

これは、 3点 \(x, y, z\) が一直線上にあることを意味します。 ベクトルとしての演算を認めるならば、 \(c,d\) をスカラー値として、 \( c(x – y) = d(y – z) \) と書くことができます。

\( a_i b_j – a_j b_i = 0 \) の式を地道に解いてみます。

\( a_i = 0 \) の場合

\( a_j = 0 \) または \( b_i = 0 \) となります。

\( b_i \neq 0 \) の場合は、 すべての \( j \) について \( a_j = 0 \) となり、 これは \( x = y \) にほかなりません。

\( b_i = 0 \) の場合は、 \( a_i = b_i \) と書けます。

\( a_i \neq 0 \) の場合

\( c = \frac{b_i}{a_i} \) と定義します。

\( a_j \neq 0 \) の場合、 \( \frac{b_i}{a_i} = \frac{b_j}{a_j} = c \) 。 \( a_i \neq 0 \) なるすべての \( i \) について、 \( c a_i = b_i \) となります。

\( a_j = 0 \) の場合、 \( b_j = 0 \) となりますので、 \( c a_j = b_j \) が成り立ちます。

\( x, y, z \) が一直線上にある場合に等号が成立することがわかりました。

解法2

\( x = y \) の場合は すべての \( i \) について \( a_i = 0 \) となり、 不等式が成立します(等号成立)。

\( x \neq y \) の場合について \( t \) を実変数として、 2次式 \( f(t) \) を考えます。

\begin{eqnarray} f(t) & = & \sum _{i=1}^n \left( a_i t + b_i \right) ^2 \\ & = & \left( \sum _{i=1}^n a_i ^2 \right) t^2 + 2 \left( \sum _{i=1}^n a_i b_i \right) t + \left( \sum _{i=1}^n b_i ^2 \right) \end{eqnarray}

\( f(t) \) の定義(最初の式)から明らかに、 任意の \( t \) について \( f(t) \geq 0 \) となります。 これより判別式が0以上となり、次の式が成り立ちます。

\[ \left( \sum _{i=1}^n a_i b_i \right)^2 – \left( \sum _{i=1}^n a_i ^2 \right) \left( \sum _{i=1}^n b_i ^2 \right) \geq 0 \]

移項するとシュワルツの不等式となります。

等号成立条件の考察

等号成立条件は、 \( f(t) = 0 \) が重解を持つ場合です。 その解を \( t = t_0 \) とします。

\[ 0 = \sum _{i=1}^n \left( a_i t_0 + b_i \right) ^2 \]

そのとき、 すべての \( i \) について \( a_i t_0 + b_i = 0 \) となります。 これは \( x, y, z \) をベクトルとして、 \( – t_0 (x-y) = (y – z) \) すなわち 3点 \( x, y, z \) が一直線上にある場合です。 (これは \( x = y \) となる場合も含みます。)