証明

1. $f \circ s = I_B$ となるとき、 任意の $b \in B$ について $f(s(b)) = b$ 。 よって $f$は全射。

   $f : A \rightarrow B$ を全射とする。 このとき $s$ を $b \in B$ について $s(b) \in f^{-1}(b)$ となるように定義する。 選択公理より、そのような $s(b)$ を定めることは可能である。 すると 任意の $b \in B$ について $f(s(b)) = b$ 。

2. $r \circ f = I_A$ となるとき、 任意の$A$の元 $a_1$ , $a_2$ について $f(a_1) = f(a_2)$ とすれば $a_1 = r(f(a_1)) = r(f(a_2)) = a_2$ 。 よって $f$は単射。

   $f: A \rightarrow B$ を単射とする。 $b \in B$ について、 $b \in f(A)$ のときは $b = f(a)$ なる元 $a \in A$ が存在する。 その $a$ を用いて $r$ を $r(b) = a$ となるように定義する。 $b \not\in f(A)$ のときは $A$の元をひとつとって$a_0$と書くことにし、 $r(b)=a_0$ となるように定義する。 すると、 任意の $a \in A$ について $r(f(a)) = a$ 。

証明

$A$から$B$への単射$\varphi$が存在する場合、定理の2によって、 $\psi \circ \varphi = I_A$ となる写像 $\psi : B \rightarrow A$ が存在する。 $\psi$ は定理の1により全射。

$B$から$A$への全射$\psi$が存在する場合、定理の1によって、 $\psi \circ \varphi = I_A$ となる写像 $\varphi : A \rightarrow B$ が存在する。 $\varphi$ は定理の2により単射。