恒等写像を作る写像の存在

Table of Contents

恒等写像をつくる写像の存在について基本的な定理を紹介します。

定理

$f$ を $A$ から $B$ への写像とする。

$f \circ s = I_B$ となるとき、任意の $b \in B$ について $f(s(b)) = b$ 。よって $f$ は全射。

$f : A \rightarrow B$ を全射とする。このとき $s$ を $b \in B$ について $s(b) \in f^{-1}(b)$ となるように定義する。選択公理より、そのような $s(b)$ を定めることは可能である。すると任意の $b \in B$ について $f(s(b)) = b$ 。
$r \circ f = I_A$ となるとき、任意の $A$ の元 $a_1$ , $a_2$ について $f(a_1) = f(a_2)$ とすれば $a_1 = r(f(a_1)) = r(f(a_2)) = a_2$ 。よって $f$ は単射。

$f: A \rightarrow B$ を単射とする。 $b \in B$ について、 $b \in f(A)$ のときは $b = f(a)$ なる元 $a \in A$ が存在する。その $a$ を用いて $r$ を $r(b) = a$ となるように定義する。 $b \not\in f(A)$ のときは $A$ の元をひとつとって $a_0$ と書くことにし、 $r(b)=a_0$ となるように定義する。すると、任意の $a \in A$ について $r(f(a)) = a$ 。

$A$ , $B$ を2つの集合とする。 $A$ から $B$ への単射が存在するための必要十分条件は、 $B$ から $A$ への全射が存在することである。

$A$ から $B$ への単射 $\varphi$ が存在する場合、定理の2によって、 $\psi \circ \varphi = I_A$ となる写像 $\psi : B \rightarrow A$ が存在する。 $\psi$ は定理の1により全射。

$B$ から $A$ への全射 $\psi$ が存在する場合、定理の1によって、 $\psi \circ \varphi = I_A$ となる写像 $\varphi : A \rightarrow B$ が存在する。 $\varphi$ は定理の2により単射。