代数系入門 (松坂和夫) 第2章 §5 問題14 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §5 問題14 の解答です。

命題

\( N_1 \) , \( N_2 \) が \( G \) の正規部分群で \( N_1 \cap N_2 = \left\{ e \right\} \) ならば \( N_1 \) の任意の元と \( N_2 \) の任意の元は可換。

証明

任意の元 \( n_1 \in N_1 \), \( n_2 \in N_2 \) を考えます。 \( n_1 n_2 \in n_1 N_2 = N_2 n_1 \) ですから、 \( n_1 n_2 = m_2 n_1 \) なる元 \( m_2 \in N_2 \) が存在します。

\( n_1 n_2 \in N_1 n_2 = n_2 N_1 \) なので、 \( n_1 n_2 = n_2 m_1 \) となる元 \( m_1 \in N_1 \) が存在します。

以上より、 \( m_2 n_1 = n_2 m_1 \) です。 左から \( m_2 ^{-1} \) を掛け、 右から \( m_1 ^{-1} \) を掛けると \begin{equation} n_1 m_1^{-1} = m_2^{-1} n_2 \end{equation}
が得られます。 左辺は \( N_1 \) の元であり、 右辺は \( N_2 \) の元となります。 今、 \( N_1 \cap N_2 = \left\{ e \right\} \) ですから、 左辺に注目すれば \( n_1 m_1 ^{-1} = e \) 、 したがって \( m_1 = n_1 \) です。 同様に \( m_2 = n_2 \) です。

\( m_1, m_2 \) を上の式に代入すると、 \( n_2 n_1 = n_1 n_2 \) となり、 \( N_1 \) の元と \( N_2 \) の元が可換であることがわかります。