代数系入門 (松坂和夫) 第2章 §5 問題5, 6, 7, 8 解答


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §5 問題5, 6, 7, 8 の解答です。

問題5

命題

\( H \) が \( G \) の部分群で \( a \in G \) のとき、 \( aHa^{-1} = \left\{ axa^{-1} | x \in H \right\} \) も \( G \) の部分群である。

証明

\( e \in H \) より \( e = aea^{-1} \in aHa^{-1} \) で、 \( aHa^{-1} \) は単位元を含みます。

\( h_1, h_2 \in H \) について \( ( a h_1 a^{-1} ) ( a h_2 a^{-1} ) = a h_1 h_2 a^{-1} \in aHa^{-1} \) で、 \( aHa^{-1} \) は演算について閉じています。

\( h \in H \) について \( ah^{-1}a^{-1} \) を考えれば、 \( (ah^{-1}a^{-1})(aha^{-1}) = e \) , \( (aha^{-1})(ah^{-1}a^{-1}) = e \) となるので、 \( aHa^{-1} \) は逆元を含みます。

以上より、 \( aHa^{-1} \) は群になります。

問題6

命題

\( H \) を \( G \) の部分群、 \( N \) を \( G \) の正規部分群とすれば \( HN \) は \( G \) の部分群である。 \( H \) も正規ならば \( HN \) も正規である。

証明

\( H \) , \( N \) は部分群なので \( HN \) にも単位元が存在します。

\( hn \in HN \, ( h \in H, n \in N ) \) について、 \( G \) の上での逆元は \( n^{-1}h^{-1} \) です。 これについて \( n^{-1}h^{-1} \in N h_0 = h_0 N \subset HN\) なので、 \( HN \) は逆元を含みます。

以上より、 \( HN \) は \( G \) の部分群となります。

また、 \( H \) も正規部分群のとき、 \( \forall g \in G, gHN = (Hg)N = H(gN) = HNg \) なので、 \( HN \) も正規部分群です。

問題7

命題

\( N_1 \) , \( N_2 \) が \( G \) の正規部分群ならば、 \( N_1 \cap N_2 \) も \( G \) の正規部分群である。

証明

第2章 §3 問題1 より \( N_1 \cap N_2 \) は \( G \) の部分群です。 ここでは 正規であることのみ証明します。

任意の \( G \) の元 \( g \) と \( N_1 \cap N_2 \) の元 \( n \) について、 \( g n g ^{-1} \in N_1 \wedge g n g ^{-1} \in N_2 \) です。 よって \( g n g^{-1} \in N_1 \cap N_2 \) となり、 \( N_1 \cap N_2 \) は正規部分群となります。

問題8

よくある問題で、サイエンス社の 代数演習 (数学演習ライブラリ) でも取り上げられています。

命題

\( N \) が \( G \) の部分群で \( ( G : N ) = 2 \) ならば \( N \) は \( G \) の正規部分群である。

証明

\( G \) の 剰余類として \( N \) , \( aN \) を考えます。 このとき \( a \in G \cap N ^c \) です。 また右剰余類は 第2章 §4 問題1 より \( N \) , \( N a^{-1} \) ですが、 \( Na = N \) とすると 仮定に反するので \( Na^{-1} = Na \) となります。 そこで右剰余類として \( N \) , \( Na \) を考えます。

\( gn \in N \) なる元 \( g \) については \( g \in N \) ですから \( gN = N = Ng \) です。

\( gn \in aN \) なる元 \( g \) を考えます。 このとき \( ng \in N \) とすると \( g = n^{-1}ng \in N \) より \( g \in N \) となって仮定に反するので \( ng \in Na \) です。 よって \( aN \subset Na \) です。 逆も同様にして成り立ち、 \( Na \subset aN \) となります。 よって \( aN = Na \) です。

以上より、 \( \forall g \in G, gN = Ng \) なので \( N \) は正規部分群です。

参考情報

代数演習 (数学演習ライブラリ) では類別を使った証明が載っています。 代数系入門(松坂和夫) では、 第1章 §6 に類別についての説明があります。

上の証明では直接「類別」という言葉を使っていませんが、 内容的に類別を使っています。