減衰振動 – 速さに比例する抵抗がある場合


速さに比例する抵抗がある場合の減衰振動です。

ばねの振動

image/svg+xmlmkxR

図のように、ばねの振動を考えた場合、抵抗として考えられるものがいくつかあります。 例えば、重りと底面との摩擦、空気の抵抗、ばねの内部摩擦があります。

ここでは、抵抗力として空気の抵抗を考えます。 (物理では一番影響を与えているであろうモノから計算に組み込んで近似していきます。)

\( k \) はばね定数、 \( m \) は重りの質量、 \( x \) は質点の位置を表し、 復元力は \( -kx \) で表されるものとします。 空気抵抗 \(R\) を速さに比例するものとして考え、 \( R = – \Gamma \frac{dx}{dt} \) とします。

この後の計算を簡単にするために、 \( \Gamma = 2 m \gamma \) として \( R \) を書き換えます。

\[ R = – 2 m \gamma \frac{dx}{dt} \]

復元力 \( -kx \) を、 摩擦がなかった場合の 角振動数 \( \omega _0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \) を用いて表すと次のようになります。

\[ – \omega _0 = -m \omega _0 ^2 x \]

以上を用いて運動方程式を作ります。

\[ m \frac{d^2 x}{dt^2} = – m \omega _0 ^2 x – 2 m \gamma \frac{dx}{dt} \]

整理して、

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dx}{dt} + \omega _0 ^2 x = 0 \]

という二階線形微分方程式が得られます。

この式を 複素関数 \( z = A e ^ {Pt} \) の式と仮定して解きます。

\begin{eqnarray} \frac{d^2 z}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dz}{dt} + \omega _0 ^2 z & = & 0 \\
A(P^2 + 2 \gamma P + \omega_0 ^2) e ^{Pt} & = & 0\end{eqnarray}

\( A = 0 \) とすれば式は成り立ちますが、 \( x = 0 \) の静止状態を表す式になります。

\( A \neq 0 \) として考えます。 そのとき \( P = – \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 – \omega_0^2} \) となります。 これより次の2通りの解が得られます。

\[ \begin{cases} z_1 & = & A_1 e ^{- \gamma t} e ^{\sqrt{\gamma ^2 – \omega_0^2}t} \\
z_2 & = & A_2 e^{- \gamma t} e^{-\sqrt{\gamma^2 – \omega _0^2}t} \end{cases} \]

\( z_1 \) , \( z_2 \) は、 一方を整数倍しても等しくならないので互いに独立な解です。 よって \( z_1 + z_2 \) も解になります。

\[ z_1 + z_2 = e^{-\gamma t} \left( A_1 e^{\sqrt{\gamma ^2 – \omega _0 ^2} t} + A_2 e^{-\sqrt{\gamma^2 – \omega _0^2} t} \right) \]

\( z_1 + z_2 \) の式は任意定数を2つ含むので、 一般解の式になりうることがわかります。

\( \gamma ^2 – \omega_0 ^2 < 0 \) の場合

\[ \gamma < \omega _0 \]

抵抗が小さい場合にあたります。

\( \omega ‘ = \sqrt{\omega_0 ^2 – \gamma} \) とすると、 \( \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} = i \omega’ \) と書けます。

\begin{eqnarray} z & = & z_1 + z_2 \\
& = & e^{-\gamma t } \left( A_1 e^{i \omega ‘ t} + A_2 e^{-i \omega ‘ t} \right) \end{eqnarray}

\( A_1 \) , \( A_2 \) を実部(\(R_n\))と虚部(\(I_n\)) に分け、 \( A_1 = R_1 + i I_1 \) , \( A_2 = R_2 + i I_2 \) とします。

\begin{eqnarray} z & = & e^{-\gamma t} \left\{ (R_1 + iI_1) \left( \cos \omega’ t + i \sin \omega’ t \right) + (R_2 + iI_2) \left( \cos \omega ‘ t – i \sin \omega ‘ t \right) \right\} \\
& = & e^{-\gamma t} \left[ \left\{ (R_1 + R_2) \cos \omega ‘ t + ( -I_1+I_2) \sin \omega ‘ t \right\} + i \left\{ (R_1 – R_2) \sin \omega’ t + (I_1 + I_2) \cos \omega ‘ t \right\} \right] \end{eqnarray}

簡略化のため \( b_1 = R_1 + R_2 \) , \( b_2 =-I_1 + I_2 \) とします。 本来求めたかった \( x \) の式は、 \( z \) の実部で次のようになります。

\[ x = e ^{-\gamma t} \left( b_1 \cos \omega ‘ t + b_2 \sin \omega ‘ t \right) \]

この式は、 \(b_1\), \(b_2\) という2つの任意定数を持っているため一般解となります。

ここで、 \( b_1 = a \cos \alpha \) , \( b_2 = a \sin \alpha \) となる定数 \( a\), \(\alpha\) を用いて式を書き換えます。

\begin{eqnarray} x & = & e^{-\gamma t} \left( a \cos \alpha \cos \omega ‘ t + a \sin \alpha \sin \omega ‘ t \right) \\
& = & a e^{-\gamma t} \cos ( \omega ‘ t – \alpha ) \\
& = & a e^{-\gamma t} \cos ( \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} t – \alpha ) \end{eqnarray}

物理的考察

角振動数は抵抗がない時よりも小さくなります。

\[ \omega ‘ = \sqrt{ \omega_0^2 – \gamma^2} \lt \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

逆に周期 \( T’ \) は 抵抗がない時の周期 \( T \) よりも長くなります。

\[ T ‘ = \frac{2 \pi}{\omega ‘} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 – \gamma^2}} \gt \frac{2 \pi}{\omega_0} = T \]

振幅は \( a e^{-\gamma t} \) で指数関数的に減衰していきます。 \( t = 0\) では \(a\) となります。

減衰時間 \( T_D\) を計算します。 \( T_D\) は振幅が ある時刻 \( t = t_0 \) のときに比べて \( \frac{1}{e} \) 倍 になる時間です。

\begin{eqnarray} \frac{a e^{-\gamma (t_0 + T_D)}}{a e^{-\gamma t_0}} & = & \frac{1}{e} \\
e^{-\gamma T_D} & = & e ^{-1} \\
T_D & = & \frac{1}{\gamma} \end{eqnarray}

減衰期は \( D = \frac{1}{T_D} = \gamma \) となります。

\( \gamma^2 – \omega_0^2 \gt 0 \) の場合

抵抗 \( \gamma \) が \( \omega_0\) よりも大きい場合です。 この場合 \( x \) は 簡単に計算することができます。 \( a_1 = \Re(A_1) \), \( a_2 = \Re(A_2) \) とします。

\begin{eqnarray} x & = & \Re(z) \\
& = & a_1 e^{ – \left(\gamma – \sqrt{\gamma ^2 – \omega _0 ^2}\right)t} + a_2 e^{ – \left(\gamma + \sqrt{\gamma ^2 – \omega _0 ^2}\right)t} \end{eqnarray}

これは \(x\)の一般解です。

物理的考察

\( \lambda _1 = \gamma – \sqrt{\gamma^2 – \omega_0^2} \) , \( \lambda_2 = \gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \) として式を簡単にします。

\[ x = a_1 e^{-\lambda_1 t} + a_2 e^{-\lambda_2 t} \]

\( x \) は2つの減衰する関数の和になっていることがわかります。 \( 0 \lt \lambda_1 \lt \lambda_2 \)

初期条件を決めてみます。 \( t = 0 \) のときの値として \( x_0 = 0 \), \( \frac{dx}{dt} \rvert _{t = 0} = 0 \) とします。 すると次の2式が導かれます。

\[ \begin{cases} a_1 + a_2 & = & x_0 \\ – \lambda_1 a_1 – \lambda_2 a_2 & = & 0 \end{cases} \]

これを解くと \( a_1 \) , \(a_2\) は次のようになります。

\[ \begin{cases} a_1 & = & \frac{\lambda_2}{\lambda_2 – \lambda_1}x_0 \\ a_2 & = & – \frac{\lambda_1}{\lambda_2 – \lambda_1}x_0 \end{cases} \]

よって、この初期条件のもとでの解は次のようになります。

\[ x = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 – \lambda_1} e^{-\lambda_1 t} – \frac{\lambda_1}{\lambda_2 – \lambda_1} e^{-\lambda_2 t} \]

これは抵抗が非常に大きい場合の減衰で、 定義より \( 0 \lt \lambda_1 \lt \lambda _2 \) どれだけ \(t\) が大きくなっても \( x = 0\) とはなりません。 緩やかに元の位置に戻る動きとなります。 このような減衰を過減衰といいます。

\( \gamma^2 – \omega_0^2 = 0 \) の場合

\[ z = A e^{-\gamma t} \]

\(x\) はこの実部を計算します。

\[ x = \Re(z) = a e^{-\gamma t} \]

しかしこれは任意定数を1個しか含んでいないので一般解ではありません。 そこで \( x = u(t) e^{-\gamma t} \) なる解があると仮定して \( u(t) \) を求めます。

\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} & = & \frac{du}{dt} e^{-\gamma t} – \gamma x \\
\frac{d^2 x}{dt^2} & = & \frac{d^2 u}{dt^2} e^{-\gamma t} – 2 \gamma e^{-\gamma t} \frac{du}{dt} + \gamma^2 x \end{cases} \]

元の微分方程式に代入して計算します。

\begin{eqnarray} \frac{d^2 x}{dt^2} + 2 \gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0 ^2 x & = & 0 \\
\frac{d^2 u}{dt^2} e^{-\gamma t} – \gamma^2 x + \omega_0^2 x &=& 0 \\
\frac{d^2 u}{dt^2} + \left( \omega_0^2 – \gamma^2 \right) u &=& 0 \\
\frac{d^2 u}{dt^2} & = & 0 \end{eqnarray}

これより \(c\) , \(d\) を任意定数として \( u = ct + d \) 。 よって

\[ x = (ct + d) e^{-\gamma t} . \]

最初に計算していた解 \( x = a e^{- \gamma t} \) は \( c = 0\) の場合で、 \( x = (ct+d) e^{-\gamma t} \) は \( x \) の一般解となります。

物理的考察

初期条件として \( x(0) = x_0 \) , \( \frac{dx}{dt} \rvert _{t=0} = 0 \) とします。

\[ \begin{cases} x_0 & = & d \\ c – \gamma d & = & 0 \end{cases} \]

これらの式から \(c\),\(d\)を求めることができます。

\[ \begin{cases} c & = & x_0 \\ d & = & \gamma x_0 \end{cases} . \]

よって \( x\) の式は次のようになります。

\[ x = ( \gamma t + 1 ) x_0 e^{-\gamma t} . \]

これは過減衰と同じように、時間とともに初期状態に戻っていく、振動をしない動きとなります。 これ以上抵抗が大きくなると減衰がさらに緩やかになり、これよりも抵抗が小さくなると振動が置きます。 この減衰状態を臨界減衰と呼びます。