サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する では サッカーボールに使われている 5角形と6角形 の数を計算しました。 ここではその面の数について、別の方面から考えてみます。 オイラーの定理は使いません。
6角形の中心を結ぶ
サッカーボールにある6角形の中心を頂点とする多面体を考えます。 その多面体は1つの面が正5角形になり、また正5角形だけからなる立体です。 これは正12面体になりますね。
正12面体の面の数は、サッカーボールに含まれる正5角形の数と同じになります。 これよりサッカーボールの正5角形は12個とわかります。
正12面体の頂点の数は、正6角形の数と同じになります。 頂点の数は ( 5 times 12 div 3 = 20 ) です。
これよりサッカーボールの面の数は
[ 12 + 20 = 32 ]です。
サッカーボールの辺の数は、5角形と6角形の辺の数を足して、重複を取り除くことで
[ ( 5 times 12 + 6 times 20 ) div 2 = 90 ]と計算できます。
サッカーボールの頂点の数は、1つの頂点を3つの図形で共有していることから
[ ( 5 times 12 + 6 times 20 ) div 3 = 60 ]と計算できます。
正6角形の中心を頂点として多面体を考えましたが、5角形の中心を頂点として考えることもできます。
5角形の中心を結ぶ
サッカーボールにある5角形の中心を頂点とする多面体は正20面体になります。 作り方から考えてわかりますが、これは上で見た正12面体の面の中心を頂点とした多面体と同じです。
切頂多面体
正20面体の頂点を切ってみましょう。
正20面体の頂点を切ると、サッカーボールの形になります。 この頂点を切った正20面体のことを、切頂正20面体または切頭正20面体と呼びます。
正12面体も頂点を切ることでサッカーボールの形にできますが、深く切る必要があります。
