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次の式を数学的帰納法を用いて証明します。
$$ sum _{k=1}^{n} k = frac{1}{2} n (n + 1) $$証明
( n = 1 ) の場合
左辺は 1, 右辺は ( frac{1}{2} 1 ( 1 + 1 ) = 1 ) で等式が成り立ちます。
( n = m ) の場合を仮定する
( n = m ) の場合に等式が成り立つと仮定します。
このとき、 ( n = m + 1 ) では
begin{eqnarray*} textrm{(左辺)} – textrm{(右辺)} & = & sum _{k=1}^{m + 1} k – frac{1}{2} ( m + 1 ) (m + 1 + 1) \ & = & sum _{k = 1}^{m} k + m + 1 – frac{1}{2} m ( m + 1 ) – ( m + 1 ) \ & = & m + 1 – ( m + 1 ) \ & = & 0 end{eqnarray*}となる。 よって ( n = m + 1 ) のときも等式が成り立つ。
この公式は、 書籍 代数系入門 (松坂和夫) でも練習問題として取り上げられています。
また ( k^n ) の総和 公式の導出 では別の方法で数式を導出しています。
