二面体群 \( D_4 \) と \( D_6 \) の真部分群


代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §3 問題10, 11 の解答です。

二面体群

関係式 \( \sigma ^n = e \) , \( \tau ^2 = e \) , \( \tau \sigma = \sigma ^{-1} \tau \) を満たす2つの生成元 \( \tau, \sigma \) を持つ位数 \( 2n \) の群 \( D_n \) を2面体群という。

\( ( \tau \sigma ^m ) ^{-1} = \tau \sigma ^m \)

二面体群においては \( ( \tau \sigma ^m ) ^{-1} = \tau \sigma ^m \) となります。

\begin{eqnarray*}
& & ( \tau \sigma ^m) ( \tau \sigma ^m ) \\
& = & ( \tau \sigma ^{m-1} ) ( \sigma \tau ^ {-1} ) ( \tau \sigma ^m ) \\
& = & ( \tau \sigma ^{m – 1} ) ( \tau \sigma ^ {m – 1}) \\
& & \vdots \\
& = & ( \tau \sigma ) ( \tau \sigma ) \\
& = & \sigma ^{-1} \tau \tau \sigma \\
& = & e
\end{eqnarray*}

二面体群 \( D_4 \) の部分群

\( D_4 = \left\{ e, \tau, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau \sigma, \tau \sigma^2, \tau \sigma^3 \right\} \) となります。

真部分群

位数2
  • \( e, \tau \)
  • \( e, \sigma ^2 \)
  • \( e, \tau \sigma \)
  • \( e, \tau \sigma^2 \)
  • \( e, \tau \sigma^3 \)
位数4
  • \( e, \sigma, \sigma ^2 , \sigma ^3 \)
  • \( e, \tau, \sigma ^2, \tau \sigma ^2 \)
  • \( e, \tau \sigma, \sigma ^2, \tau \sigma^3 \)

二面体群 \( D_6 \) の部分群

\( D_8 = \left\{ e, \tau, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5, \tau \sigma, \tau \sigma^2, \tau \sigma^3, \tau \sigma^4, \tau \sigma^5 \right\} \) となります。

真部分群

位数2
  • \( e, \tau \)
  • \( e, \sigma ^3 \)
  • \( e, \tau \sigma \)
  • \( e, \tau \sigma ^2 \)
  • \( e, \tau \sigma ^3 \)
  • \( e, \tau \sigma ^4 \)
  • \( e, \tau \sigma ^5 \)
位数3
  • \( e, \sigma ^2, \sigma^4 \)
位数4
  • \( e, \tau, \sigma^3, \tau \sigma^3 \)
  • \( e, \sigma^3, \tau \sigma^1, \tau \sigma^4 \)
  • \( e, \sigma^3, \tau \sigma^2, \tau \sigma^5 \)
位数6
  • \( e, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \sigma^5 \)
  • \( e, \tau, \sigma^2, \sigma^4, \tau \sigma^2, \tau \sigma^4 \)
  • \( e, \sigma^2, \sigma^4, \tau \sigma, \tau \sigma^3, \tau \sigma^5 \)