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代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §3 問題10, 11 の解答です。
二面体群
関係式 ( sigma ^n = e ) , ( tau ^2 = e ) , ( tau sigma = sigma ^{-1} tau ) を満たす2つの生成元 ( tau, sigma ) を持つ位数 ( 2n ) の群 ( D_n ) を2面体群という。
( ( tau sigma ^m ) ^{-1} = tau sigma ^m )
二面体群においては ( ( tau sigma ^m ) ^{-1} = tau sigma ^m ) となります。
begin{eqnarray*} & & ( tau sigma ^m) ( tau sigma ^m ) & = & ( tau sigma ^{m-1} ) ( sigma tau ^ {-1} ) ( tau sigma ^m ) & = & ( tau sigma ^{m – 1} ) ( tau sigma ^ {m – 1}) & & vdots & = & ( tau sigma ) ( tau sigma ) & = & sigma ^{-1} tau tau sigma & = & e end{eqnarray*}二面体群 ( D_4 ) の部分群
( D_4 = left{ e, tau, sigma, sigma^2, sigma^3, tau sigma, tau sigma^2, tau sigma^3 right} ) となります。
真部分群
- 位数2
-
- ( e, tau )
- ( e, sigma ^2 )
- ( e, tau sigma )
- ( e, tau sigma^2 )
- ( e, tau sigma^3 )
- 位数4
-
- ( e, sigma, sigma ^2 , sigma ^3 )
- ( e, tau, sigma ^2, tau sigma ^2 )
- ( e, tau sigma, sigma ^2, tau sigma^3 )
二面体群 ( D_6 ) の部分群
( D_8 = left{ e, tau, sigma, sigma^2, sigma^3, sigma^4, sigma^5, tau sigma, tau sigma^2, tau sigma^3, tau sigma^4, tau sigma^5 right} ) となります。
真部分群
- 位数2
-
- ( e, tau )
- ( e, sigma ^3 )
- ( e, tau sigma )
- ( e, tau sigma ^2 )
- ( e, tau sigma ^3 )
- ( e, tau sigma ^4 )
- ( e, tau sigma ^5 )
- 位数3
-
- ( e, sigma ^2, sigma^4 )
- 位数4
-
- ( e, tau, sigma^3, tau sigma^3 )
- ( e, sigma^3, tau sigma^1, tau sigma^4 )
- ( e, sigma^3, tau sigma^2, tau sigma^5 )
- 位数6
-
- ( e, sigma, sigma^2, sigma^3, sigma^4, sigma^5 )
- ( e, tau, sigma^2, sigma^4, tau sigma^2, tau sigma^4 )
- ( e, sigma^2, sigma^4, tau sigma, tau sigma^3, tau sigma^5 )
