「数学」カテゴリーアーカイブ

サッカーボールで使われている 5角形と6角形の数を計算するではサッカーボールに使われている 5角形と6角形の数を計算しました。ここではその面の数について、別の方面から考えてみます。オイラーの定理は使いません。

6角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある6角形の中心を頂点とする多面体を考えます。その多面体は1つの面が正5角形になり、また正5角形だけからなる立体です。これは正12面体になりますね。

正12面体の面の数は、サッカーボールに含まれる正5角形の数と同じになります。これよりサッカーボールの正5角形は12個とわかります。

正12面体の頂点の数は、正6角形の数と同じになります。頂点の数は ( 5 times 12 div 3 = 20 ) です。

これよりサッカーボールの面の数は

[ 12 + 20 = 32 ]

です。

サッカーボールの辺の数は、5角形と6角形の辺の数を足して、重複を取り除くことで

[ ( 5 times 12 + 6 times 20 ) div 2 = 90 ]

と計算できます。

サッカーボールの頂点の数は、1つの頂点を3つの図形で共有していることから

[ ( 5 times 12 + 6 times 20 ) div 3 = 60 ]

と計算できます。

正6角形の中心を頂点として多面体を考えましたが、5角形の中心を頂点として考えることもできます。

5角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある5角形の中心を頂点とする多面体は正20面体になります。作り方から考えてわかりますが、これは上で見た正12面体の面の中心を頂点とした多面体と同じです。

切頂多面体

正20面体の頂点を切ってみましょう。

正20面体の頂点を切ると、サッカーボールの形になります。この頂点を切った正20面体のことを、切頂正20面体または切頭正20面体と呼びます。

正12面体も頂点を切ることでサッカーボールの形にできますが、深く切る必要があります。

数学

多面体デカルトの定理を証明する

2015年08月10日 Kenji

多面体ではオイラーの定理に並んで、デカルトの定理というのがあります。

多面体についての考察

多面体は、形はどうあれ、ボールのように丸く壁がつながっています。丸くなっているということは、なにか性質がありそうです。わかりやすい正多面体について調べてみます。

正多面体について、各頂点に集まる角度の総和は 360度よりも少ないはずです。 360度だと平面になってしまいますから。

例

試しに正4面体について計算してみます。

正4面体の面は正3角形で 1つの角は 60度です。 1つの頂点には 3つの面が集まっていますから、 1つの面に集まる角度の総和は

$60 \times 3 = 180 \textrm{度} .$

平面(360度)との差(角不足)は

$360 – 180 = 180 \textrm{度}$

頂点は全部で 4つあるので全頂点での角不足総和は

$180 \times 4 = 720 \textrm{度}$

です。

同じようにすべての正多面体について角不足総和を求めると下の表のようになります。

正多面体の角不足総和一覧
	1つの頂点に集まる角度の総和	平面(360度)との差(角不足)	全頂点での角不足総和
正4面体	180度	180度	720度
正6面体	270度	90度	720度
正8面体	240度	120度	720度
正12面体	324度	36度	720度
正20面体	300度	60度	720度

立体全体での角不足は720度になりますね。

実際のところ、多面体の角不足の総和は 720度になります。これをデカルトの定理と呼んでいます。

本当かどうか、証明してみましょう。

証明

多面体の頂点、辺、面の数をそれぞれ $V$ 、 $E$ 、 $F$ とします。オイラーの多面体定理を考えるで書いたとおり、次の式が成り立ちます(オイラーの定理)。

$V – E + F = 2$

多面体での各不足を計算します。多面体全体での角不足は、 (360度) × ( 頂点の数 ) – ( 各面の内角の総和 ) で計算できます。

$(360 \textrm{度} ) \times ( \textrm{頂点の数} ) = 360 V$

は ( V ) の定義より明らかですので、多面体全体での角不足は

$360 V – (\textrm{全ての面の内角の総和})$

となります。そこで、 1つの面の内角の総和を計算し、全ての面について足し合わせます。

ひとつの面の内角の総和

多面体のひとつの面(多角形)について、辺の数を $e$ とします。この多角形( $e$ 角形)の内角の総和は

$(e – 2) \times 180$

となります。

これを全ての面の分だけ足します。

全ての面の内角の総和

先ほどの $e$ を用いて次のように表せます。

$\begin{eqnarray} & \sum \left\{ (e – 2) \times 180 \right\} = & 180 ( \sum e – \sum 2 ) \end{eqnarray}$

$\sum$ は総和を意味します。

$\sum e$ は全ての面について辺の数を足したものです。全ての面について辺の数を足すと、それぞれの辺を2回数えることになりますから、 $\sum e = 2 E$ となります。また、面の数 $F$ だけ和を計算しますから $\sum 2 = 2 F$ になります。

よって、多面体全体での総和は次のように表されます。

$\begin{eqnarray} & & 180 ( \sum e – \sum 2 ) \\ & = & 180 ( 2 E – 2 F ) \\ & = & 360 ( E – F ) \end{eqnarray}$

多面体全体での角不足は

$\begin{eqnarray} & & 360 V – \left\{ 360 ( E – F ) \right\} & = & 360 ( V – E + F) \\ & = & 360 \times 2 \\ & = & 720 \end{eqnarray}$

オイラーの定理は凸多面体でなくても成り立ちますから、デカルトの定理も同様に成り立ちます。

数学

サッカーボールで使われている 5角形と6角形の数を計算する

2014年06月02日 Kenji

サッカーボールには、正5角形と正6角形が使われています。それぞれいくつ使われているのかを考えてみましょう。

オイラーの定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

定理自体の証明はオイラーの多面体定理を考えるに記述しました。

これを利用して、 5角形の数と 6角形の数を計算します。 ( サッカーボールと正多面体ではオイラーの定理を使わずに計算しました。 )

計算

5角形の数を $m$ , 6角形の数を $n$ とします。

サッカーボールは、1つの頂点に3つの図形の点が重なっているためサッカーボール全体で頂点の数は $\frac{5m + 6n}{3}$ 。変の数は $\frac{5m + 6n}{2}$ 、面の数は $m + n$ 。

オイラーの定理より、次の式が成り立つ。

$\frac{5m + 6n}{3} – \frac{5m + 6n}{2} + m + n = 2$

この等式を簡単にすると

$m = 12 .$

サッカーボールを見ると、 5角形の周りには 6角形は5つあり、 6角形は必ず 3つの 5角形に接している。これより

$n = \frac{5 m}{3} = \frac{5 \times 12}{3} = 20 .$

以上より、 5角形と 6角形はそれぞれ 12, 20個あることがわかる。

デカルトの定理を使っても、同じように計算することができます。デカルトの定理は多面体デカルトの定理を証明するに書きました。

補足

C₆₀ のフラーレンもサッカーボールの形です。せっかくなので頂点の数が 60 になるのか確かめてみましょう。

$\frac{5m + 6n}{3} = \frac{5 \times 12 + 6 \times 20}{3} = 60 .$

参考

オイラーの定理は下の本にも載っています。レベル的には中学生向けのハンドブックです。私も使っていました。

数学ハンドブック

コード, 数学, 日記・回想

数秘術に基づくあの年の運勢

2012年09月30日 Kenji

数秘術を元にある年の運勢を占うプログラムを作りました。

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数学

偏差値の計算方法

2009年08月17日 Kenji

偏差値の計算方法についてまとめました。ここでいう偏差値というのは、試験を受けた時によく計算されるもので、平均を50とする数値のことです。「東京大学は偏差値〇〇必要」などという使われ方をしますね。ちなみにアメリカではあまり意識されないそうです。