二項分布とその平均・分散


2項分布についてまとめました。

定義

正整数 n 、 確率変数 XN (0Xn) 、 1回あたりの施行における確率を p として、次の式が成り立つ分布を2項分布といいます。

P(X=x)=(nx)px(1p)nx

成功・失敗という2つの事象についての分布で、 確率変数 X は、 n 回施行を繰り返した時の成功の回数を表します。 1回の施行について成功になる確率が p (固定) である場合に使えます。

確率変数 X が2項分布に従う場合、 n, p を用いて次のように記述します。

XBinomial(n,p)

具体例

n 回 サイコロを投げる場合の1の目が出る数 x (p=16)。

n 個の サイコロを一度に投げる場合の1の目が出る数 x (p=16)。

n回コインを投げる場合の表の出る回数 x (p=12)。

n個のコインを一度に投げる場合の表の出る枚数 x (p=12)。

平均(期待値)の計算

平均(期待値)は次のように計算されます。

E(X)=nx=0x(nx)px(1p)nx=nx=1x(nx)px(1p)nx=nx=1xn!x!(nx)!px(1p)nx=nx=1n(n1)!(x1)!(nx)!px(1p)nx=nx=1n(n1x1)px(1p)nx=n1x=0n(n1x)px+1(1p)n1x=n1x=0np(n1x)px(1p)n1x=npn1x=0(n1x)px(1p)n1x=np(p+1p)n1=np1=np

分散は次のように計算されます。

V(X)=nx=0(xnp)2(nx)px(1p)nx=nx=0(x22xnp+n2p2)(nx)px(1p)nx=nx=0(x22xnp)(nx)px(1p)nx+n2p2=nx=0(x2x+x2xnp)(nx)px(1p)nx+n2p2=nx=0x(x1)(nx)px(1p)nx+(12np)nx=0x(nx)px(1p)nx+n2p2=nx=0x(x1)(nx)px(1p)nx+(12np)np+n2p2=nx=0x(x1)(nx)px(1p)nx+(1np)np=nx=0x(x1)n!x!(nx)!px(1p)nx+(1np)np=nx=2x(x1)n!x!(nx)!px(1p)nx+(1np)np=nx=2x(x1)n!x!(nx)!px(1p)nx+(1np)np=nx=2n(n1)(n2)!(x2)!(nx)!px(1p)nx+(1np)np=n2x=0n(n1)(n2)!x!(n2x)!px+2(1p)nx2+(1np)np=p2n(n1)n2x=0(n2)!x!(n2x)!px(1p)nx2+(1np)np=p2n(n1)+(1np)np=p2n2p2n+npn2p2=p2n+np=np(1p)

R での計算

R で2項分布を計算するには dbinom, pbnom を使います。

dbinom

dbnom(x, n, p)XBinomial(n,p) なる X について P(X=x) を計算します。

pbinom

pbnom(x, n, p)XBinomial(n,p) なる X について P(Xx) を計算します。