二項分布とその平均・分散

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2項分布についてまとめました。

定義

正整数 $n$ 、確率変数 $X \in \mathbb{N} \ (0 \leq X \leq n)$ 、 1回あたりの施行における確率を $p$ として、次の式が成り立つ分布を2項分布といいます。

P (X = x) = (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$\textrm{P}(X = x) = \begin{pmatrix}n \\ x\end{pmatrix} p^x (1-p)^{n-x}$

成功・失敗という2つの事象についての分布で、確率変数 $X$ は、 $n$ 回施行を繰り返した時の成功の回数を表します。 1回の施行について成功になる確率が $p$ (固定) である場合に使えます。

確率変数 $X$ が2項分布に従う場合、 $n$ , $p$ を用いて次のように記述します。

X \sim Binomial (n, p)

$X \sim \textrm{Binomial}(n, p)$

具体例

$n$ 回サイコロを投げる場合の1の目が出る数 $x$ ( $p=\frac{1}{6}$ )。

$n$ 個のサイコロを一度に投げる場合の1の目が出る数 $x$ ( $p=\frac{1}{6}$ )。

$n$ 回コインを投げる場合の表の出る回数 $x$ ( $p=\frac{1}{2}$ )。

$n$ 個のコインを一度に投げる場合の表の出る枚数 $x$ ( $p=\frac{1}{2}$ )。

平均(期待値)の計算

平均(期待値)は次のように計算されます。

\begin{array}{rcl} E (X) & = & \sum_{x = 0}^{n} x (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 1}^{n} x (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 1}^{n} x \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 1}^{n} n \frac{(n - 1)!}{(x - 1)! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 1}^{n} n (\begin{matrix} n - 1 \\ x - 1 \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 0}^{n - 1} n (\begin{matrix} n - 1 \\ x \end{matrix}) p^{x + 1} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ = & \sum_{x = 0}^{n - 1} n p (\begin{matrix} n - 1 \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ = & n p \sum_{x = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - 1 - x} \\ = & n p (p + 1 - p)^{n - 1} \\ = & n p \cdot 1 \\ = & n p \end{array}

$\begin{eqnarray*} \textrm{E}(X) & = & \sum _{x=0}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=1}^{n} x \begin{pmatrix} n \\ x\end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=1}^{n} x \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=1}^{n} n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=1}^{n} n \begin{pmatrix} n – 1 \\ x – 1 \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=0}^{n-1} n \begin{pmatrix} n – 1 \\ x \end{pmatrix} p^{x+1} (1-p) ^{n-1-x} \\ & = & \sum _{x=0}^{n-1} np \begin{pmatrix} n – 1 \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-1-x} \\ & = & np \sum _{x=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n – 1 \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-1-x} \\ & = & n p (p + 1 – p)^{n – 1} \\ & = & n p \cdot 1 \\ &=& np \\ \end{eqnarray*}$

分散は次のように計算されます。

\begin{array}{rcl} V (X) & = & \sum_{x = 0}^{n} {(x - n p)}^{2} (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} (x^{2} - 2 x n p + n^{2} p^{2}) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} (x^{2} - 2 x n p) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} + n^{2} p^{2} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} (x^{2} - x + x - 2 x n p) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} + n^{2} p^{2} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ + (1 - 2 n p) \sum_{x = 0}^{n} x (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} + n^{2} p^{2} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - 2 n p) n p + n^{2} p^{2} \\ = & \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) (\begin{matrix} n \\ x \end{matrix}) p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - n p) n p \\ = & \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - n p) n p \\ = & \sum_{x = 2}^{n} x (x - 1) \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - n p) n p \\ = & \sum_{x = 2}^{n} x (x - 1) \frac{n!}{x! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - n p) n p \\ = & \sum_{x = 2}^{n} n (n - 1) \frac{(n - 2)!}{(x - 2)! (n - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x} + (1 - n p) n p \\ = & \sum_{x = 0}^{n - 2} n (n - 1) \frac{(n - 2)!}{x! (n - 2 - x)!} p^{x + 2} (1 - p)^{n - x - 2} + (1 - n p) n p \\ = & p^{2} n (n - 1) \sum_{x = 0}^{n - 2} \frac{(n - 2)!}{x! (n - 2 - x)!} p^{x} (1 - p)^{n - x - 2} + (1 - n p) n p \\ = & p^{2} n (n - 1) + (1 - n p) n p \\ = & p^{2} n^{2} - p^{2} n + n p - n^{2} p^{2} \\ = & - p^{2} n + n p \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \textrm{V}(X) & = & \sum _{x=0}^{n} \left(x – np\right)^2 \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=0}^{n} \left(x^2 -2 x np + n^2 p^2\right) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & = & \sum _{x=0}^{n} \left(x^2 -2 x np \right) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} + n^2 p^2\\ & = & \sum _{x=0}^{n} \left(x^2 -x + x – 2 x np \right) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} + n^2 p^2 \\ & = & \sum _{x=0}^{n} x(x -1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} \\ & & \quad + (1 – 2 np) \sum _{x=0}^n x \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x} + n^2 p^2 \\ & = & \sum _{x=0}^{n} x(x -1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – 2 np) np + n^2 p^2 \\ & = & \sum _{x=0}^{n} x(x -1) \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – np) np \\ & = & \sum _{x=0}^{n} x(x -1) \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – np) np \\ & = & \sum _{x=2}^{n} x(x -1) \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – np) np \\ & = & \sum _{x=2}^{n} x(x -1) \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – np) np \\ & = & \sum _{x=2}^{n} n(n -1) \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!} p^x (1-p) ^{n-x}+ (1 – np) np \\ & = & \sum _{x=0}^{n-2} n(n -1) \frac{(n-2)!}{x!(n-2-x)!} p^{x+2} (1-p) ^{n-x-2}+ (1 – np) np \\ & = & p^2 n(n-1) \sum _{x=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{x!(n-2-x)!} p^{x} (1-p) ^{n-x-2}+ (1 – np) np \\ & = & p^2 n(n-1) + (1 – np) np \\ & = & p^2 n^2 – p^2n + np – n^2 p^2 \\ & = & – p^2n + np \\ & = & np(1-p) \end{eqnarray*}$

R での計算

R で2項分布を計算するには dbinom, pbnom を使います。

dbinom: dbnom(x, n, p) は $X \sim \textrm{Binomial}(n, p)$ なる $X$ について $P(X=x)$ を計算します。
pbinom: pbnom(x, n, p) は $X \sim \textrm{Binomial}(n, p)$ なる $X$ について $P(X \leq x)$ を計算します。

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