2項分布についてまとめました。
定義
正整数 n 、 確率変数 X∈N (0≤X≤n) 、 1回あたりの施行における確率を p として、次の式が成り立つ分布を2項分布といいます。
P(X=x)=(nx)px(1−p)n−x
成功・失敗という2つの事象についての分布で、 確率変数 X は、 n 回施行を繰り返した時の成功の回数を表します。 1回の施行について成功になる確率が p (固定) である場合に使えます。
確率変数 X が2項分布に従う場合、 n, p を用いて次のように記述します。
X∼Binomial(n,p)
具体例
n 回 サイコロを投げる場合の1の目が出る数 x (p=16)。
n 個の サイコロを一度に投げる場合の1の目が出る数 x (p=16)。
n回コインを投げる場合の表の出る回数 x (p=12)。
n個のコインを一度に投げる場合の表の出る枚数 x (p=12)。
平均(期待値)の計算
平均(期待値)は次のように計算されます。
E(X)=n∑x=0x(nx)px(1−p)n−x=n∑x=1x(nx)px(1−p)n−x=n∑x=1xn!x!(n−x)!px(1−p)n−x=n∑x=1n(n−1)!(x−1)!(n−x)!px(1−p)n−x=n∑x=1n(n–1x–1)px(1−p)n−x=n−1∑x=0n(n–1x)px+1(1−p)n−1−x=n−1∑x=0np(n–1x)px(1−p)n−1−x=npn−1∑x=0(n–1x)px(1−p)n−1−x=np(p+1–p)n–1=np⋅1=np
分散は次のように計算されます。
V(X)=n∑x=0(x–np)2(nx)px(1−p)n−x=n∑x=0(x2−2xnp+n2p2)(nx)px(1−p)n−x=n∑x=0(x2−2xnp)(nx)px(1−p)n−x+n2p2=n∑x=0(x2−x+x–2xnp)(nx)px(1−p)n−x+n2p2=n∑x=0x(x−1)(nx)px(1−p)n−x+(1–2np)n∑x=0x(nx)px(1−p)n−x+n2p2=n∑x=0x(x−1)(nx)px(1−p)n−x+(1–2np)np+n2p2=n∑x=0x(x−1)(nx)px(1−p)n−x+(1–np)np=n∑x=0x(x−1)n!x!(n−x)!px(1−p)n−x+(1–np)np=n∑x=2x(x−1)n!x!(n−x)!px(1−p)n−x+(1–np)np=n∑x=2x(x−1)n!x!(n−x)!px(1−p)n−x+(1–np)np=n∑x=2n(n−1)(n−2)!(x−2)!(n−x)!px(1−p)n−x+(1–np)np=n−2∑x=0n(n−1)(n−2)!x!(n−2−x)!px+2(1−p)n−x−2+(1–np)np=p2n(n−1)n−2∑x=0(n−2)!x!(n−2−x)!px(1−p)n−x−2+(1–np)np=p2n(n−1)+(1–np)np=p2n2–p2n+np–n2p2=–p2n+np=np(1−p)
R での計算
R で2項分布を計算するには dbinom
, pbnom
を使います。
- dbinom
-
dbnom(x, n, p)
は X∼Binomial(n,p) なる X について P(X=x) を計算します。
- pbinom
-
pbnom(x, n, p)
は X∼Binomial(n,p) なる X について P(X≤x) を計算します。
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