オイラーの定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

定理自体の証明は オイラーの多面体定理を考える に記述しました。

計算

5角形の数を $m$ , 6角形の数を $n$ とします。

サッカーボールは、1つの頂点に3つの図形の点が重なっているため サッカーボール全体で 頂点の数は $\frac{5m + 6n}{3}$ 。 変の数は $\frac{5m + 6n}{2}$ 、 面の数は $m + n$ 。

オイラーの定理より、次の式が成り立つ。

$$\frac{5m + 6n}{3} – \frac{5m + 6n}{2} + m + n = 2$$

この等式を簡単にすると

$$m = 12 .$$

サッカーボールを見ると、 5角形 の周りには 6角形 は5つあり、 6角形 は必ず 3つ の 5角形 に接している。 これより

$$n = \frac{5 m}{3} = \frac{5 \times 12}{3} = 20 .$$

以上より、 5角形 と 6角形 はそれぞれ 12, 20個 あることがわかる。

補足

C₆₀ のフラーレンもサッカーボールの形です。 せっかくなので頂点の数が 60 になるのか確かめてみましょう。

$$\frac{5m + 6n}{3} = \frac{5 \times 12 + 6 \times 20}{3} = 60 .$$

参考

オイラーの定理は下の本にも載っています。 レベル的には中学生向けの ハンドブックです。 私も使っていました。

数学ハンドブック