オイラーの多面体定理を証明する


オイラーの多面体定理を考えてみましょう。

オイラーの多面体定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

平面上の図形においてもこの式は成り立つ。

今回はこの式が本当に正しいのか検証してみようという趣旨です。 オイラーの式は平面上で成り立つ式なので、平面上で考えます。 多面体は平面図形に置き換えられるので、 平面図形でオイラーの式が成り立てば 多面体でも成り立つことになります。

多面体を平面に投影する

多面体は平面図形に投影することができます。

左の4面体は右のように平面に投影できます。 4面体の面は4角形になったのが3つ、残る面はまわりのエリアです。 点と線で 4つの区域に分けられていますね。

証明

平面上に描かれた点と線を考えます。 線の両端が点だと考えてください。 全ての線は点を介してつながっているものとし、点以外では線がつながらないものとします。 線は曲線も含みます。

数学的帰納法で考えます。 点の数を \( V \) 、 線の数を \( E \) 、 面の数を \( F \) とします。 \( V – E + F = 2 \) を証明すればOKです。

\( E = 1 \) のとき

辺 \( E \) は 1, 面 \( F \) は 1, 点 \( V \) は 2 です。

\[ V – E + F = 2 – 1 + 1 = 2 \]

オイラーの式は成立しています。

\( E = k \in \mathbb N \) でオイラーの式が成り立つとき

\( E = k \) でオイラーの式が成立するときの \( E \) 、 \( V \) 、 \( F \) の値をそれぞれ \( E_k \) 、 \( V_k \) 、 \( F_k \) とすると、次の式が成り立ちます。

\[ V_k – E_k + F_k = 2 \]

ここで \( V_k \) 、 \( F_k \) の値は \( k \) によって一意に定まるものではなく、 あくまで前提とした条件での値です。

図形に線を足す場合を考えます。 線は点を介してつながっているので、新しく引く線は両端または一方の端が既存の線とつながります。

線の一方のみが既存の点に接続する場合

点が新たに1つ増えるので \( V = V_k + 1 \) 、 線が新たに1つ増えるので \( E = E_k + 1 \) 、 面の数は変わらないので \( F = F_k \) 。

\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & ( V_k + 1 ) – ( E_k + 1 ) + F_k \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}

線の両端が既存の点に接続する場合

新しく線を引く前の状態で、 既存の線は繋がっているため 新しく引く線の片側または両側は線が閉じていることになる。 すなわち線を新しく引くと、 面の数が1増える。

これより 点の数は増えず \( V = V_k \) 、 線の数は1増えて \( E = E_k + 1 \) 、 面の数も1増えて \( F = F_k + 1 \) 。 これは 線の始点と終点が同じ場合も含みます。

\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & V_k – ( E_k + 1 ) + ( F_k + 1 ) \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}

以上より、 \( E = k \in \mathbb N \) で オイラーの式が成立していれば \( E = k + 1 \) でも成立することが分かる。

よって すべての場合で オイラーの式は成立する。

証明にしてはちょっとゆるい感じがしますが、 式が成り立つことを理解していただけるとうれしいです。

このオイラーの定理を使うと、デカルトの定理も証明できます。 詳細は デカルトの定理を証明する をご覧ください。