数学: 球の体積を導出する

円の面積を導出するに続いて球の体積 ( ( frac{4}{3} pi r ^3 ) ) を導出してみることにしました。半径1の球について考えます。

前提

次のことを既知とします。

円の面積は半径を ( r ) として ( pi r^2 ) であらわされる。 (参考: 円の面積を計算する)
円柱の体積は底面積と高さの積になる。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)を知っている。

半分の体積を円柱で評価する

球を半分に切って、半球の体積を考えます。この半球の体積を ( v ) とします。

半球

上からの評価

この半球を複数の円柱で外側から覆います。高さが ( frac{1}{n} ) の複数の円柱で、円に接するものを考えます。

横から見た図

円柱の体積の和を考えます。上の図で一番下の段にある円柱は、高さが ( frac{1}{n} ) 、底面が半径1の円ですから、体積は ( frac{1}{n} pi ) になります。

下から 2番目にある円柱は、高さが ( frac{1}{n} ) 、底面が(三平方の定理より) ( sqrt{1 – left( frac{1}{n} right) ^2 } ) の円ですから、体積は ( frac{1}{n} left{ 1- left( frac{1}{n} right)^2 right} pi ) となります。

以下同様にして ( k ) 番目 ( ( k = 1, 2, … , n ) ) の円柱の体積は ( frac{1}{n} left{ 1 – left( frac{k-1}{n} right) ^2 right} pi ) となります。

これらの円柱をすべて足した値は ( v ) より大きいため、次の式が成り立ちます。

begin{eqnarray*} v & lt & sum_{k=1}^{n} frac{1}{n} left{ 1 – left( frac{k-1}{n} right) ^2 right} pi \ & lt & sum_{k=0}^{n-1} frac{1}{n} left{ 1 – left( frac{k}{n} right) ^2 right} pi \ & lt & frac{1}{n^3} pi sum_{k=0}^{n-1} left( n^2 – k^2 right) \ & lt & frac{1}{n^3} pi left[ n^3 – frac{1}{6} left( n – 1 right) n left{ 2 left( n – 1 right) + 1 right} right] \ & lt & frac{1}{n^3} pi left{ n^3 – frac{1}{6} left( 2n^3 – 3n^2 + n right) right} \ & lt & frac{1}{n^3} pi left( frac{2}{3} n^3 – frac{1}{2} n^2 + frac{1}{6} n right) \ & lt & frac{2}{3} pi – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right)^2 – frac{3}{n} right} pi end{eqnarray*}

( sum ) の計算は ( n^k ) の総和に記述があります。わからなければそちらをご参考ください。

下からの評価

半球に内接する複数の円柱を考えます。高さが ( frac{1}{n} ) の円柱 ( ( n – 1 ) ) 個です。

横から見た図

実際に計算をしてもいいのですが、先ほど上で考えた値(半球を覆う複数の円柱の総体積)から一番下の円柱の体積を取り除いたものになります。

begin{eqnarray*} & & frac{2}{3} pi – frac{1}{6} pi left{ left( frac{1}{n} right)^2 – frac{3}{n} right} – frac{1}{n} pi \ & = & frac{2}{3} pi – frac{1}{6} pi left{ left( frac{1}{n} right)^2 + frac{3}{n} right} end{eqnarray*}

これは半球の体積 ( v ) よりも小さいですから次の式が成り立ちます。

[ frac{2}{3} pi – frac{1}{6} pi left{ left( frac{1}{n} right)^2 + frac{3}{n} right} lt v ]

さて、 ( v ) の不等式を見ると、 ( n ) が大きくなるにつれて ( v ) の上からと下からの評価値が ( frac{2}{3} pi ) に近づくことがわかります。極限を考えれば半球の体積もわかりますが、ここでは円の面積を計算するでやったのと同じやり方で、半球の体積が ( frac{2}{3} pi ) になることを確かめます。

背理法による確認

( v = frac{2}{3} pi ) となることを、背理法を使って確かめます。

上からの評価

[ v lt frac{2}{3} pi – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 – frac{3}{n} right} pi ]

( v = frac{2}{3} pi + delta ) ( ( delta gt 0 ) ) と仮定します。すると次の式が成り立ちます。

[ frac{2}{3} pi + delta lt frac{2}{3} pi – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 – frac{3}{n} right} pi ]

この式を整理すると

begin{eqnarray*} delta & lt & – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 – frac{3}{n} right} pi \ frac{6 delta}{pi} & lt & – left{ left( frac{1}{n} right) ^2 – frac{3}{n} right} \ frac{6 delta}{pi} & lt & – left{ left( frac{1}{n} – frac{3}{2} right) ^2 – frac{9}{4} right} \ & lt & – left( frac{1}{n} – frac{3}{2} right) ^2 + frac{9}{4} \ left( frac{1}{n} – frac{3}{2} right) ^2 + frac{6 delta}{pi} & lt & frac{9}{4} \ left( frac{1}{n} – frac{3}{2} right) ^2 & lt & frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} . \ end{eqnarray*}

ここで、左辺は正なので右辺も正。また ( n geq 1 ) より ( frac{1}{n} – frac{3}{2} lt 0 ) 。よって

begin{eqnarray*} – frac{1}{n} + frac{3}{2} & lt & sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} } \ – frac{1}{n} & lt & sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} } – frac{3}{2} \ frac{3}{2} – sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} } & lt & frac{1}{n} \ n left( frac{3}{2} – sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} } right) & lt & 1 \ n & lt & frac{1}{frac{3}{2} – sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} }} . end{eqnarray*}

この式はすべての ( n ) について成り立つはずですが、 ( n ) が ( frac{1}{frac{3}{2} – sqrt{ frac{9}{4} – frac{6 delta}{pi} }} ) 以上になると成り立たないので矛盾します。よって

[ v leq frac{2}{3} pi . ]

下からの評価

[ frac{2}{3} pi – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 + frac{3}{n} right} pi lt v ]

( v = frac{2}{3} pi – delta ) ( ( delta gt 0 ) ) と仮定します。すると次の式が成り立ちます。

[ frac{2}{3} pi – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 + frac{3}{n} right} pi lt frac{2}{3} pi – delta ]

この式を整理すると

begin{eqnarray*} – frac{1}{6} left{ left( frac{1}{n} right) ^2 + frac{3}{n} right} pi & lt & – delta \ – left{ left( frac{1}{n} right) ^2 + frac{3}{n} right} & lt & – frac{6 delta}{pi} \ frac{6 delta}{pi} & lt & left( frac{1}{n} right) ^2 + frac{3}{n} \ & lt & left( frac{1}{n} + frac{3}{2} right) ^2 – frac{9}{4} \ frac{6 delta}{pi} + frac{9}{4} & lt & left( frac{1}{n} + frac{3}{2} right) ^2 end{eqnarray*}

ここで、左辺、右辺ともに正となるので

begin{eqnarray*} sqrt{ frac{6 delta}{pi} + frac{9}{4} } & lt & frac{1}{n} + frac{3}{2} \ sqrt{ frac{6 delta}{pi} + frac{9}{4} } – frac{3}{2} & lt & frac{1}{n} \ n left( sqrt{ frac{6 delta}{pi} + frac{9}{4} } – frac{3}{2} right) & lt & 1 \ n & lt & frac{1}{sqrt{ frac{6 delta}{pi} + frac{9}{4} } – frac{3}{2}} . end{eqnarray*}

この式はすべての ( n ) について成り立つはずですが、 ( n ) が ( frac{1}{sqrt{ frac{9}{4} + frac{6 delta}{pi} } – frac{3}{2}} ) 以上になると成り立たないので矛盾します。よって

[ v leq frac{2}{3} pi . ]

以上より ( frac{2}{3} pi leq v leq frac{2}{3} pi ) すなわち ( v = frac{2}{3} pi ) 。

半球の体積が ( frac{2}{3} pi ) なので、球の体積はその2倍の ( frac{4}{3} pi ) となります。