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ユークリッド空間の3点 P,Q,R∈Rn の距離について |PR|≤|PQ|+|QR| を証明します。 書いた後で気づいたのですが、 n次元ユークリッド空間Rn と距離の性質 にすでに詳しく記載していました。
P を (p1,⋯,pn), Q を (q1,⋯,qn), R を (r1,⋯,rn) と表すことにします。
n=1 のとき
√(r1−p1)2–√(q1–p1)2–√(r1–q1)2≤0 を示せばよい。 p1,r1 についての対称式であるため、 p1≤r1 とします。
q1<p1≤r1 の場合
√(r1−p1)2–√(q1–p1)2–√(r1–q1)2=(r1–p1)–(p1–q1)–(r1–q1)=−2p1+2q1≤0p1≤q1≤r1 の場合
√(r1−p1)2–√(q1–p1)2–√(r1–q1)2=(r1–p1)–(q1–p1)–(r1–q1)=0p1≤r1<q1 の場合
√(r1−p1)2–√(q1–p1)2–√(r1–q1)2=(r1–p1)–(q1–p1)–(q1–r1)=2r1−2q1<00<n のとき
n=k の時に条件式が成立すると仮定します。
このとき
√k∑l=1(rl–pl)2≤√k∑l=1(ql–pl)2–√k∑l=1(rl–ql)2.これより
k∑l=1(rl–pl)2≤(√k∑l=1(ql–pl)2+√k∑l=1(rl–ql)2)2≤k∑l=1(ql–pl)2+k∑l=1(rl–ql)2+2√k∑l=1(ql−pl)2√k∑l=1(rj−qj)2.この条件下で、
(√k+1∑l=1(rl–pl)2)2–(√k∑l=1(ql–pl)2+√k∑l=1(rl–ql)2)2≤0を証明する。
n=k のときの不等式と、n=1 のときの不等式を利用すると、次のように式変形できます。
(√k+1∑l=1(rl–pl)2)2–(√k∑l=1(ql–pl)2+√k∑l=1(rl–ql)2)2≤(rk+1−pk+1)2–(qk+1−pk+1)2–(rk+1−qk+1)2–2√k+1∑l=1(ql−pl)2√k+1∑l=1(rj−qj)2+2√k∑l=1(ql−pl)2√k∑l=1(rl−ql)2≤2√(qk+1–pk+1)2(rk+1–qk+1)2–2√k+1∑l=1(ql−pl)2√k+1∑l=1(rj−qj)2+2√k∑l=1(ql−pl)2√k∑l=1(rl−ql)2.ここで次のように Ak, Bk, Ck, Dk を定義します。
Ak=(qk+1–pk+1)2Bk=(rk+1–qk+1)2Ck=k∑l=1(ql−pl)2Dk=k∑l=1(rl−ql)2すると、最後の式は
2√AkBk–2√(Ak+Ck)(Bk+Dk)+2√BkDkと書けます。
√AkBk–√(Ak+Ck)(Bk+Dk)+√BkDk≤0を証明するために、
(√AkBk+√BkDk)2≤√(Ak+Ck)(Bk+Dk)2を証明します。
(√AkBk+√BkDk)2–√(Ak+Ck)(Bk+Dk)2≤AkBk+BkDk+2√AkBkCkDk–AkBk–CkDk–AkDk–BkDk=2√AkBkCkDk–AkDk–BkCk=–(√AkDk–√BkCk)2≤0よって、 n=k+1 の場合も3角不等式は成立します。
