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代数系入門(松坂和夫) の 第2章 §7 問題1, 2 の解答です。
問題1
命題
群 ( G ) の写像 ( f : x mapsto x^{-1} ) が自己同型ならば ( G ) は可換群。
証明
( G ) の任意の元 ( a, b ) を考えます。 ( f ) は自己同型なので、begin{eqnarray*} & & fleft( (ab)(ba)^{-1} right) & = & f(ab) f(a^{-1} b^{-1}) & = & (ab)^{-1} ab & = & b^{-1} a^{-1} ab & = & e . end{eqnarray*}
( f ) は自己同型なので、 ( (ab) (ba) ^ {-1} = e ) すなわち ( ab = ba ) 。
よって、 ( G ) は可換群です。
問題2
命題
群 ( G ) の内部自己同型の全体は ( rm{Aut}(G) ) の正規部分群をなす。
証明
群 ( G ) の内部自己同型全体を ( I ) とします。
[ I = left{ sigma _a | a in G , sigma (x) := axa^{-1} right} ]群であることの証明
( I ) は写像の合成について閉じています。 任意の ( sigma_a, sigma_b in I ) について begin{eqnarray*} & & (sigma _a circ sigma _b) (x) & = & sigma _a ( bxb^{-1} ) & = & abxb^{-1} a^{-1} & = & (ab) x (ab)^{-1} & = & sigma _{ab} (x) . end{eqnarray*}
( sigma _e ) は単位元となります。 任意の内部自己同型写像 ( sigma _a ) に対して begin{eqnarray*} & & ( sigma _a circ sigma _e ) (x) & = & sigma _a ( sigma _e (x) ) & = & sigma _a ( e x e ^ {-1} ) & = & sigma _a ( x ) & = & e (sigma _a ( x )) e^{-1} & = & sigma _e ( sigma _a ( x ) ) & = & ( sigma _e circ sigma _a )(x) . end{eqnarray*}
( sigma _a ) に対して ( sigma _{a^{-1}} ) は逆元です。 begin{eqnarray*} & & (sigma _a circ sigma _{a^{-1}} ) (x) & = & sigma _a ( sigma _{a^{-1}} (x) ) & = & a ( a^{-1} x a ) a ^ {-1} & = & x , (sigma _e (x)) & = & a^{-1} ( a x a^{-1} ) a & = & sigma _{a^{-1}} ( sigma _a (x) ) & = & ( sigma _{a^{-1}} circ sigma _a ) (x) .end{eqnarray*}
( sigma _a, sigma _b, sigma _c ) について begin{eqnarray*} & & ( sigma _a circ sigma_b ) circ sigma _c & = & sigma _{ab} circ sigma _c & = & sigma _{(ab)c} & = & sigma _{a(bc)} & = & sigma _a circ ( sigma _{bc} ) & = & sigma _a circ ( sigma _b circ sigma _c ) . end{eqnarray*}
正規部分群であることの証明
任意の元 ( sigma _a in I, f in rm{Aut}(G) ) について ( sigma _a circ f circ sigma _{a^{-1}} in I ) がわかれば十分です。
begin{eqnarray*} & & ( sigma _a circ f circ sigma _{a^{-1}} ) (x) & = & (sigma _a circ f) (a x a ^{-1}) & = & sigma _a ( f (a x a^{-1})) & = & sigma _a ( f (a) f(x) f (a^{-1}) ) & = & a f(a) f(x) f(a^{-1}) a^-1 & = & a f(a) f(x) f(a)^{-1} a^{-1} & = & ( a f(a) ) f(x) (a f(a)) ^{-1} & = & sigma _{af(a)} (x) end{eqnarray*}( af(a) in G ) なので ( sigma _a circ f circ sigma _{a^{-1}} in I ) となり ( I ) が正規部分群であることがわかります。
