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連続の定義についてまとめました。
連続
( f(x) ) をある区間 ( I subset mathbb{R} ) で定義された関数とします。 このとき 点 ( a in I ) において次の式が成り立つならば、 ( f(x) ) は ( a ) で連続であるといいます。
[ lim_{x rightarrow a} f(x) = f(a) ]イプシロン-デルタ論法で書くと次のようになります。
[ forall varepsilon , exists delta , |x-a| lt delta Rightarrow |f(x) – f(a)| lt varepsilon ]右に連続
区間 ( I ) で定義された関数 ( f(x) ) が 点 ( a in I ) において次を満たす場合、 ( f(x) ) は ( a ) で右に連続、右連続といいます。
[ lim_{x rightarrow a+0 } f(x) = f(a) ]左に連続
区間 ( I ) で定義された関数 ( f(x) ) が 点 ( a in I ) において次を満たす場合、 ( f(x) ) は ( a ) で左に連続、左連続といいます。
[ lim_{x rightarrow a-0 } f(x) = f(a) ]例えば ( I = [a, b) ) のときに ( f(x) ) が ( x = a ) で連続であるということは、 ( x = a ) で右に連続であることをいいます。
片側に連続な関数の例
[ f_1(x) = begin{cases} 0 & ( x lt 0 ) \ 1 & ( x geq 1 ) end{cases} ]( f_1(x) ) は ( x = a ) において右に連続です。 しかし左に連続ではありません。
連続関数
関数 ( f(x) ) がその定義域 ( I ) に属するすべての点で連続であるとき、 ( f(x) ) は連続関数であるといいます。
上に挙げた ( f_1(x) ) は、 ( x = mathbb{R} ) において連続関数ではありません。 部分区間 ( left{ x|x lt 0 right} , left{ x| x geq 0 right} ) それぞれにおいては連続関数といえます。
一様連続
任意の正の実数 ( varepsilon ) に対してひとつの正の実数 ( delta ) が存在し、
[ | x – y | lt delta , x in I, y in I Rightarrow | f(x) – f(y) | lt varepsilon ]となるとき、 ( f(x) ) は ( I ) で一様連続であるといいます。
( I ) で一様連続な関数は連続ですが、逆は成り立ちません。
一様連続ではない連続関数の例
区間 ( I = (0, 1] ) で連続な関数
[ f_2(x) = frac{1}{x} ]は、一様連続ではありません。
( a in I ) として
begin{array}{crcl} & | f_2(x) – f_2(a) | & lt & varepsilon \ Leftrightarrow & left| frac{1}{x} – frac{1}{a} right| & lt & varepsilon . end{array}絶対値を外すと
begin{array}{cc} & – varepsilon lt frac{1}{x} – frac{1}{a} lt varepsilon \ Leftrightarrow & – varepsilon + frac{1}{a} lt frac{1}{x} lt varepsilon + frac{1}{a} \ Leftrightarrow & frac{1 – a varepsilon}{a} lt frac{1}{x} lt frac{1 + a varepsilon}{a} . end{array}( varepsilon lt 1 ) とすると (1 – a varepsilon gt 0 ) 。 よって
begin{array}{cc} & frac{a}{1 + a varepsilon} lt x lt frac{a}{1 – a varepsilon} \ Leftrightarrow & – frac{a^2 varepsilon}{1 + a varepsilon} lt x – a lt frac{a^2 varepsilon}{1 – a varepsilon} . end{array}これより
[ |x – a| leq frac{a^2 varepsilon}{1 + a varepsilon} ]が ( |f_2(x) – f_2(a)| lt varepsilon ) の十分条件です。 この式が、すべての ( a ) について成立するような ( delta ) をとることができれば一様連続となります。
そのような ( delta ) が存在したとして、 ( varepsilon lt frac{1}{2} ) なる ( varepsilon = varepsilon _0 ) について考えたときの値を ( delta _0 ) とします。 すると
[ delta _0 leq a^2 varepsilon _0 . ]ここで、 ( a leq sqrt{frac{delta _0}{2 varepsilon _0}} ) とすると、
[ delta _0 leq frac{delta _0}{2} ]となり矛盾が生じます。 これより全ての ( a ) について ( |f_2(x) – f(a)| lt varepsilon _0 ) となるような ( delta _0 ) を定めることはできず、 ( f_2(x) ) が一様連続でないことがわかります。
他に、 ( x in (0, 1] ) での ( sin frac{1}{x} ) も連続関数ですが一様連続ではありません。
