数学: 1変数の連続関数定義


連続の定義についてまとめました。

連続

\( f(x) \) をある区間 \( I \subset \mathbb{R} \) で定義された関数とします。 このとき 点 \( a \in I \) において次の式が成り立つならば、 \( f(x) \) は \( a \) で連続であるといいます。

\[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) \]

イプシロン-デルタ論法で書くと次のようになります。

\[ \forall \varepsilon , \exists \delta , |x-a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) – f(a)| \lt \varepsilon \]

右に連続

区間 \( I \) で定義された関数 \( f(x) \) が 点 \( a \in I \) において次を満たす場合、 \( f(x) \) は \( a \) で右に連続、右連続といいます。

\[ \lim_{x \rightarrow a+0 } f(x) = f(a) \]

左に連続

区間 \( I \) で定義された関数 \( f(x) \) が 点 \( a \in I \) において次を満たす場合、 \( f(x) \) は \( a \) で左に連続、左連続といいます。

\[ \lim_{x \rightarrow a-0 } f(x) = f(a) \]

例えば \( I = [a, b) \) のときに \( f(x) \) が \( x = a \) で連続であるということは、 \( x = a \) で右に連続であることをいいます。

片側に連続な関数の例

\[ f_1(x) = \begin{cases} 0 & ( x \lt 0 ) \\ 1 & ( x \geq 1 ) \end{cases} \]

\( f_1(x) \) は \( x = a \) において右に連続です。 しかし左に連続ではありません。

連続関数

関数 \( f(x) \) がその定義域 \( I \) に属するすべての点で連続であるとき、 \( f(x) \) は連続関数であるといいます。

上に挙げた \( f_1(x) \) は、 \( x = \mathbb{R} \) において連続関数ではありません。 部分区間 \( \left\{ x|x \lt 0 \right\} , \left\{ x| x \geq 0 \right\} \) それぞれにおいては連続関数といえます。

一様連続

任意の正の実数 \( \varepsilon \) に対してひとつの正の実数 \( \delta \) が存在し、

\[ | x – y | \lt \delta , x \in I, y \in I \Rightarrow | f(x) – f(y) | \lt \varepsilon \]

となるとき、 \( f(x) \) は \( I \) で一様連続であるといいます。

\( I \) で一様連続な関数は連続ですが、逆は成り立ちません。

一様連続ではない連続関数の例

区間 \( I = (0, 1] \) で連続な関数

\[ f_2(x) = \frac{1}{x} \]

は、一様連続ではありません。

\( a \in I \) として

\begin{array}{crcl} & | f_2(x) – f_2(a) | & \lt & \varepsilon \\ \Leftrightarrow & \left| \frac{1}{x} – \frac{1}{a} \right| & \lt & \varepsilon . \end{array}

絶対値を外すと

\begin{array}{cc} & – \varepsilon \lt \frac{1}{x} – \frac{1}{a} \lt \varepsilon \\ \Leftrightarrow & – \varepsilon + \frac{1}{a} \lt \frac{1}{x} \lt \varepsilon + \frac{1}{a} \\ \Leftrightarrow & \frac{1 – a \varepsilon}{a} \lt \frac{1}{x} \lt \frac{1 + a \varepsilon}{a} . \end{array}

\( \varepsilon \lt 1 \) とすると \(1 – a \varepsilon \gt 0 \) 。 よって

\begin{array}{cc} & \frac{a}{1 + a \varepsilon} \lt x \lt \frac{a}{1 – a \varepsilon} \\ \Leftrightarrow & – \frac{a^2 \varepsilon}{1 + a \varepsilon} \lt x – a \lt \frac{a^2 \varepsilon}{1 – a \varepsilon} . \end{array}

これより

\[ |x – a| \leq \frac{a^2 \varepsilon}{1 + a \varepsilon} \]

が \( |f_2(x) – f_2(a)| \lt \varepsilon \) の十分条件です。 この式が、すべての \( a \) について成立するような \( \delta \) をとることができれば一様連続となります。

そのような \( \delta \) が存在したとして、 \( \varepsilon \lt \frac{1}{2} \) なる \( \varepsilon = \varepsilon _0 \) について考えたときの値を \( \delta _0 \) とします。 すると

\[ \delta _0 \leq a^2 \varepsilon _0 . \]

ここで、 \( a \leq \sqrt{\frac{\delta _0}{2 \varepsilon _0}} \) とすると、

\[ \delta _0 \leq \frac{\delta _0}{2} \]

となり矛盾が生じます。 これより全ての \( a \) について \( |f_2(x) – f(a)| \lt \varepsilon _0 \) となるような \( \delta _0 \) を定めることはできず、 \( f_2(x) \) が一様連続でないことがわかります。

他に、 \( x \in (0, 1] \) での \( \sin \frac{1}{x} \) も連続関数ですが一様連続ではありません。