数列が収束する必要十分条件を証明します。 (ここで証明するのは Cauchyの判定法ではありません。)
まずは収束の定義の確認です。
定義
数列 ( {alpha _n } ) が実数 ( alpha ) に収束するとは、 任意の正の実数 ( varepsilon ) に対応して 自然数 ( n_0 ( varepsilon ) ) が定まって次を満たすことをいう。
[ n > n_0 (varepsilon) Rightarrow | alpha _n – alpha | < varepsilon ]数列 ( { alpha _n } ) が ( alpha ) に 収束する必要十分条件は次のようになります。
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