目次
数列が収束する必要十分条件を証明します。 (ここで証明するのは Cauchyの判定法ではありません。)
まずは収束の定義の確認です。
定義
数列 ( {alpha _n } ) が実数 ( alpha ) に収束するとは、 任意の正の実数 ( varepsilon ) に対応して 自然数 ( n_0 ( varepsilon ) ) が定まって次を満たすことをいう。
[ n > n_0 (varepsilon) Rightarrow | alpha _n – alpha | < varepsilon ]数列 ( { alpha _n } ) が ( alpha ) に 収束する必要十分条件は次のようになります。
定理
数列 ( { alpha _n } ) が 実数 ( alpha ) に収束するための必要十分条件は、 ( rho < alpha < sigma ) を満たす実数 ( rho , sigma ) が任意に与えられたとき、 次の不等式が有限個の自然数 ( n ) を除いて成立することである。
[ rho < alpha _n < sigma ]証明
必要であることの証明
( { alpha _n } ) が ( alpha ) に収束すると仮定する。 ( rho < alpha < sigma ) なる実数 ( rho , sigma ) について、 ( alpha - rho ) と ( sigma - alpha ) のいずれか小さい方を ( varepsilon ) とする。 このとき
[ rho = alpha – ( alpha – rho ) leq alpha – varepsilon lt alpha lt alpha + varepsilon leq alpha + ( sigma – alpha ) = sigma . ]( { alpha _n } ) は ( alpha ) に収束するので、 ( varepsilon ) に対して ( n_0(varepsilon) ) が存在して ( n > n_0(varepsilon) ) のとき ( | alpha _n – alpha | < varepsilon ) 、 すなわち
[ alpha – varepsilon lt alpha _ n lt alpha + varepsilon ]が成り立つ。
以上より、 有限個の自然数 ( n = 1, 2, cdots , n_0 (varepsilon) ) を除いて
[ rho lt alpha _n lt sigma ]が成り立つ。
十分であることの証明
任意の実数 ( rho , sigma ) ( ( rho lt alpha lt sigma ) ) について、 有限個の自然数 ( n ) を除いて ( rho < alpha _n < sigma ) が成り立つことから、 任意の実数 ( varepsilon ) について 有限個の自然数 ( n ) を除いて次が成り立つ。 ( ( rho = alpha – varepsilon , sigma = alpha + varepsilon ) として式を作る。 )
[ alpha – varepsilon lt alpha _n lt alpha + varepsilon ]除外された 有限個の自然数のうち、 最大のものを ( n_0 (varepsilon) ) とすると、
[ n gt n_0 ( varepsilon ) Rightarrow | alpha _n – alpha | lt varepsilon ]となって収束することがわかる。
