証明: \( a^b \) が有理数となるような無理数 \( a \) 、 \( b \) が存在する


\( a^b \) が有理数となるような無理数 \( a \) 、 \( b \) が存在する。 これを証明します。

具体的に \( a \) 、 \( b \) の値を求めることなく、 排中律を使って証明します。

証明

\( x = \sqrt{2} ^ \sqrt{2} \) とする。

\( x \) が有理数のとき

\( \sqrt{2} \) は無理数だから、 \( a = b = \sqrt{2} \) とすればよい。 ( \( \sqrt{2} \) が無理数であることの証明は 証明: \( \sqrt{2} \) は無理数 をご覧ください。)

\( x \) が無理数のとき

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2} & = & (\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} \\
& = & \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\
& = & \sqrt{2}^2 \\
& = & 2
\end{eqnarray*}

であるから、 \( a = x = \sqrt{2}^\sqrt{2} \) 、 \( b = \sqrt{2} \) とすれば \( a \) 、 \( b \) は無理数で \( a^b \) は有理数となる。

以上より、 \( a^b \) が有理数となるような無理数 \( a \) 、 \( b \) は存在する。