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( a^b ) が有理数となるような無理数 ( a ) 、 ( b ) が存在する。 これを証明します。
具体的に ( a ) 、 ( b ) の値を求めることなく、 排中律を使って証明します。
証明
( x = sqrt{2} ^ sqrt{2} ) とする。
( x ) が有理数のとき
( sqrt{2} ) は無理数だから、 ( a = b = sqrt{2} ) とすればよい。 ( ( sqrt{2} ) が無理数であることの証明は 証明: ( sqrt{2} ) は無理数 をご覧ください。)
( x ) が無理数のとき
begin{eqnarray*} sqrt{2} & = & (sqrt{2}^sqrt{2})^sqrt{2} & = & sqrt{2}^{sqrt{2} cdot sqrt{2}} & = & sqrt{2}^2 & = & 2 end{eqnarray*}であるから、 ( a = x = sqrt{2}^sqrt{2} ) 、 ( b = sqrt{2} ) とすれば ( a ) 、 ( b ) は無理数で ( a^b ) は有理数となる。
以上より、 ( a^b ) が有理数となるような無理数 ( a ) 、 ( b ) は存在する。
