証明: \( \sqrt{2} \) は無理数


有理数の定義は既知とします。 有理数でない実数を無理数といいます。

ここでは ( sqrt{2} ) が無理数であることを証明します。

証明

背理法で証明する。

( sqrt{2} ) が 有理数だと仮定すると、 ある互いに素な自然数 ( m, n ) が存在して次のように書ける。

[ sqrt{2} = frac{m}{n} ]

これより

[ 2n^2 = m^2 . ]

左辺 ( 2 n^2 ) は偶数なので ( m^2 ) も偶数。 (すなわ)ち 自然数 ( k ) を用いて ( m = 2k ) と書くことができ、

begin{array}{crcl} & 2 n ^2 & = & ( 2k )^2 \ & & = & 4k^2 \ Leftrightarrow & n^2 & = & 2k^2 end{array}

これより ( n ) も偶数だが、 ( m, n ) が互いに素であることに反する。 よって ( sqrt{2} ) は無理数。

同様に、 ( n ) が素数となるときの ( sqrt{n} ) が無理数になることも証明できます。

一般的に ( b ) が平方数でないとき、 ( a sqrt{b} ; (a, b in mathbb{N}) ) は無理数になります。 有理数と無理数の積は無理数になりますので、 ( sqrt{b} ) が無理数になることを証明すれば十分です。 また、 ( b ) に 2回かけられている素因子は ルートの外に出せるので、 ( b ) が素数の積になっている場合のみ証明すれば十分です。

証明

( b ) が ( k ) 個の 異なる素数 ( b_1, b_2, cdots , b_k ) を用いて 次のように素因数分解されるとする。

[ b = b_1 b_2 cdots b_k ]

( sqrt{b} ) が有理数だと仮定すると、 ある互いに素な自然数 ( m, n ) が存在して次のように書ける。

[ sqrt{b} = frac{m}{n} ]

これより

[ b n^2 = m^2 ]

左辺 ( b n^2 ) は ( b_1, b_2, cdots, b_k ) を素因子に含むので、 右辺 ( m^2 ) も ( b_1, b_2, cdots, b_k ) を素因子に含む。 すなわち ( m ) は 適当な自然数 ( c ) を用いて

begin{eqnarray*} m & = & c b_1 b_2 cdots b_k \ & = & cb end{eqnarray*}

と書くことができる。 (したが)って

begin{array}{crcl} & b n^2 & = & ( cb )^2 \ & & = & c^2 b^2 \ Leftrightarrow & n^2 & = & c^2 b end{array}

( m ) と同様にして ( n ) も ( b ) の倍数となるが、 これは (m, n) が互いに素であることに矛盾する。

以上より ( sqrt{n} ) は (n) が平方数の場合のみ有理数(整数)になることがわかります。

今回はルートについて証明を行いましたが ( sqrt[m]{n} ; (m, n in mathbb{N}) ) についても同様に証明できます。

補足命題

有理数と無理数の積は無理数である。

証明

背理法で証明する。

( p, q, r, s ) を 整数、 ( x ) を無理数として、 有理数 ( frac{p}{q} ) と 無理数 ( x ) の積が 有理数 ( frac{r}{s} ) になると仮定する。 このとき

[ frac{p}{q} = x cdot frac{r}{s} ]

となる。 式変形して

[ x = frac{ps}{qr} ]

となるが、 右辺が有理数となり、 ( x ) が無理数であることに矛盾する。

以上より 有理数と無理数の積は無理数。