互いに素なピタゴラス数が無限に存在することの証明


互いに素ピタゴラス数が無限に存在することを証明します。

概要

自然数 1, 2, 3, … を2乗した数 1, 4, 9, … を考えます。 隣り合う2数の差は 3, 5, 7, … となり、3以上のすべての奇数が現れます。

\begin{eqnarray} 2^2 – 1^2 & = & 3 \\ 3^2 – 2^2 & = & 5 \\ 4^2 – 3^2 & = & 7 \\ 5^2 – 4^2 & = & 9 \\ 6^2 – 5^2 & = & 11 \\ 7^2 – 6^2 & = & 13 \\ & \vdots & \end{eqnarray}

その中には、奇数の平方数も含まれます。 奇数の平方数は無限に存在し、その平方数を生成するために差をとった2数と併せてピタゴラス数となります。

3, 4, 5 や 5, 12, 13 はこのパターンのピタゴラス数です。

\begin{equation} 5^2 – 4^2 = 9 = 3^2 \\ 13^2 – 12^2 = 25 = 5^2 \end{equation}

8, 15, 17 はこのパターンではありません。

証明

\( m \) を任意の自然数とします。 奇数 \( 2m + 1 \) の2乗 \( 4m^2 + 4m + 1 \) を考えます。 \( n = 2m^2 + 2m \) とします。

\begin{eqnarray} & & 4m^2 + 4m + 1 \\ & = & 2 n + 1 \\ & = & (n + 1)^2 – n^2 \end{eqnarray}

これにより、 任意の自然数 \( m \) について \( (2m+1)^2 + n^2 = (n+1)^2 \) となり、 \( 2m + 1 \) , \( n \), \( n+1 \) がピタゴラス数となることがわかります。 また \( n \) , \( n + 1 \) は連続する整数ですから互いに素です。 よって \( 2m+1 \) , \( n \), \( n+1 \) は互いに素なピタゴラス数となります。 \( m \) は無数にあるため 互いに素なピタゴラス数も無数にあることがわかります。

ディオファントスの式で紹介した式からも、ピタゴラス数が無数に存在することが証明できます。

\begin{cases} a = m^2 – n^2 \\ b = 2mn \\ c = m^2 + n^2 \end{cases}

この式で、 \( m \), \( n \) は互いに素な自然数です。 ここで、 互いに素な自然数が無数に存在することを前提として、 \( ( m, n) \) から \( ( a, b, c) \) への写像が単射になることが示せればOKです。 偶数になるのは \( b \) だけですから、 同じ \( a \), \(b\), \(c\) を生成する \( (m_1,n_1) \), \((m_2,n_2)\) が存在すると仮定すると、

\begin{eqnarray} m_1^2 – n_1^2 & = & m_2^2 – n_2^2 \\ 2 m_1 n_1 & = & 2 m_2 n_2 \\ m_1 ^ 2 + n_1 ^ 2 & = & m_2 ^2 + n_2 ^2 \end{eqnarray}

この式を解くと \( m_1 = m_2 \) , \( n_1 = n_2 \) となります。 よって \( m \) , \( n \) の組が異なれば生成されるピタゴラス数も異なるものとなります。 互いに素な自然数の組 \( m \), \(n \) が無数に存在することから、 互いに素なピタゴラス数も無数に存在することがわかります。